Pisa
Páginas: 17 (4199 palabras)
Publicado: 8 de agosto de 2012
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Teorema del binomio
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS TEOREMA DEL BINOMIO
CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima posee singular importancia ya que binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio a + b aparece con mucha frecuencia enMatemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
n
(
)
potencia de un
FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO Sea un binomio de la forma
(a + b) .
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:
(a + b)1 = a + b (a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2 veces
(a + b ) (a + b ) (a + b ) (a + b )
3
= (a+ b )(a + b )(a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
3 veces
4
= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
4 veces
5
= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5
5 veces
6
= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
6 veces
De lo anterior, se aprecia que: a) El desarrollo de(a + b) n tiene n + 1 términos
b) Las potencias de
a
empiezan con
n
en el primer término y van disminuyendo en cada término,
hasta cero en el último c) Las potencias de
b
empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno
con cada término, hasta
n
en el último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de
a
y
b
es
e)El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es f)
n. n.
El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de
a
dividido entre el número que indica el orden de ese término.
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. 1
Facultad de Contaduría y Administración. UNAMTeorema del binomio
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Ejemplo.
(a + b )5 = ↑a 5 + 5↑ 4 b+ 10↑a 3b 2 + 10↑a 2b 3 + 5↑ab 4 + ↑ 5 a b
es 1 1(5 ) 1 5(4 ) 2 10 (3 ) 3 10 ( 2 ) 4
5 (1) 5
Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:
(a + b )n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2 b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n−3b 3 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a n−4 b 4 11(2 ) 1(2 )(3) 1(2 )(3)(4 ) n (n − 1)(n − 2 )(n − 3)(n − 4 ) n −5 5 + a b + ⋅⋅⋅ + bn 1(2 )(3)(4 )(5 )
Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:
(a + b)n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2b 2 + n(n −1)(n − 2) a n−3b3 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a n−4b 4 1! 2! 3! 4! n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)(n − 4 ) n−5 5 + a b + ⋅⋅⋅ + bn
5!
Ejemplo. Obtener eldesarrollo de
(2 x − 5 y ) 4
Solución. Haciendo a = 2 x y b = − 5 y Aplicando la fórmula se tiene:
(2 x − 5 y )4 = (2 x )4 + 4 (2 x )3 (− 5 y ) + 4(3) (2 x )2 (− 5 y )2 + 4(3)(2) (2 x )(− 5 y )3 + (− 5 y )4
1! 1 2! 3!
(2 x − 5 y )4 = (2 x )4 + 4 (2 x )3 (− 5 y ) + 12 (2 x )2 (− 5 y )2 + 24 (2 x )(− 5 y )3 + (− 5 y )4
2 6
(2 x − 5 y )4 = 16 x 4 − 160 x 3 y + 600 x 2 y 2 − 1000 xy 3 + 625y 4
EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL En el desarrollo binomial:
(a + b )n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n−3b 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n(n − 1) a 2 b n−2 + n a1b n−1 + b n
1! 2! 3! 2! 1!
si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino, entonces se encuentra que:
• • • •
r −1 El exponente del término del binomio es: n − (r −1) = n −r + 1 El denominador del coeficiente es: (r −1)!
El exponente del término
b a
del binomio es:
El numerador del coeficiente es: n(n − 1)(n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 2 )
2
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Teorema del binomio
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
En consecuencia el r-ésimo termino de la expansión de
(a + b )n
es:
n(n − 1)(n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅...
Teorema del binomio
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS TEOREMA DEL BINOMIO
CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima posee singular importancia ya que binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio a + b aparece con mucha frecuencia enMatemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
n
(
)
potencia de un
FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO Sea un binomio de la forma
(a + b) .
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:
(a + b)1 = a + b (a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2 veces
(a + b ) (a + b ) (a + b ) (a + b )
3
= (a+ b )(a + b )(a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
3 veces
4
= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
4 veces
5
= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5
5 veces
6
= (a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ (a + b ) = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
6 veces
De lo anterior, se aprecia que: a) El desarrollo de(a + b) n tiene n + 1 términos
b) Las potencias de
a
empiezan con
n
en el primer término y van disminuyendo en cada término,
hasta cero en el último c) Las potencias de
b
empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno
con cada término, hasta
n
en el último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de
a
y
b
es
e)El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es f)
n. n.
El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de
a
dividido entre el número que indica el orden de ese término.
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. 1
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Ejemplo.
(a + b )5 = ↑a 5 + 5↑ 4 b+ 10↑a 3b 2 + 10↑a 2b 3 + 5↑ab 4 + ↑ 5 a b
es 1 1(5 ) 1 5(4 ) 2 10 (3 ) 3 10 ( 2 ) 4
5 (1) 5
Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:
(a + b )n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2 b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n−3b 3 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a n−4 b 4 11(2 ) 1(2 )(3) 1(2 )(3)(4 ) n (n − 1)(n − 2 )(n − 3)(n − 4 ) n −5 5 + a b + ⋅⋅⋅ + bn 1(2 )(3)(4 )(5 )
Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:
(a + b)n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2b 2 + n(n −1)(n − 2) a n−3b3 + n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a n−4b 4 1! 2! 3! 4! n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)(n − 4 ) n−5 5 + a b + ⋅⋅⋅ + bn
5!
Ejemplo. Obtener eldesarrollo de
(2 x − 5 y ) 4
Solución. Haciendo a = 2 x y b = − 5 y Aplicando la fórmula se tiene:
(2 x − 5 y )4 = (2 x )4 + 4 (2 x )3 (− 5 y ) + 4(3) (2 x )2 (− 5 y )2 + 4(3)(2) (2 x )(− 5 y )3 + (− 5 y )4
1! 1 2! 3!
(2 x − 5 y )4 = (2 x )4 + 4 (2 x )3 (− 5 y ) + 12 (2 x )2 (− 5 y )2 + 24 (2 x )(− 5 y )3 + (− 5 y )4
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(2 x − 5 y )4 = 16 x 4 − 160 x 3 y + 600 x 2 y 2 − 1000 xy 3 + 625y 4
EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL En el desarrollo binomial:
(a + b )n = a n + n a n−1b + n(n − 1) a n−2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n−3b 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n(n − 1) a 2 b n−2 + n a1b n−1 + b n
1! 2! 3! 2! 1!
si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino, entonces se encuentra que:
• • • •
r −1 El exponente del término del binomio es: n − (r −1) = n −r + 1 El denominador del coeficiente es: (r −1)!
El exponente del término
b a
del binomio es:
El numerador del coeficiente es: n(n − 1)(n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 2 )
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
En consecuencia el r-ésimo termino de la expansión de
(a + b )n
es:
n(n − 1)(n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅...
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