Pitagoras

Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si un triángulorectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:




Se estima que sedemostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la quedetermina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y losángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos sonsemejantes si hay dos o más ángulos congruentes.


De la semejanza entre ABC y BHC:


Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón desemejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:


obtenemos después de simplificar que:

pero siendo  la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "larelación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

quede acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
 (I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:


pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando...