Plano tangente y recta normal a una superficie

 Plano tangente y recta normal a una superficie
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre lasuperficie por el punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
Si la superficie está definida de manera implícita por laecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:


y la recta normal por:


Si la ecuación de la superficie está definida de maneraexplícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:

y la ecuación de la recta normal:


La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular elvalor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.

Ejemplos Desarrollados
1. Halla la ecuación del planotangente y de la recta normal a la superficie de ecuación
en el punto P(1,2,3).

Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
 ; 
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
;
Luego la ecuacióndel plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
, o bien, simplificando 
y la ecuación de la recta normal es:


2. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal al hiperboloide deecuación

en el punto P(1,-1,4).

Solución:
Consideramos la función
Hallamos las derivadas parciales:
 ; ;
En el punto P(1,-1,4) las derivadas parciales son:
;;
Luego la ecuación del plano tangenteen el punto P(1,-1,4) es:
, o bien, simplificando 
y la ecuación de la recta normal es:

nota: El vector gradiente puede simplificarse por el vector 



3. Halla las ecuaciones de los planostangentes a la superficie  que sean paralelos al plano.

Solución:
Consideramos la función
Hallamos las derivadas parciales:
 ; ;
El vector gradiente es perpendicular a la superficie en el...