Plantas Medicinales
Páginas: 5 (1008 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2012
Alturas de un triángulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide acada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferenciacircunscrita al triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
Capitulo 4 Triángulos
4.1 Propiedades de los triángulos isósceles
Para un triángulo cualquiera, tenemos las siguientesdefiniciones.
Definición. 4..1.1 La mediana es el segmento de recta trazado del punto medio de un lado al vértice opuesto.
La altura es el segmento de recta perpendicular a un lado o a su prolongación y va al vértice opuesto.
La bisectriz es la recta que sale de un vértice y divide al ángulo interior en dos partes iguales.
La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado y esperpendicular a el.
Teorema 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus lados iguales, entonces tiene dos ángulos iguales, los ángulos opuestos a dichos lados.
Demostración. Sea ABC un triangulo que tiene dos lados iguales AB= AC.
emostraremos Que B = C.
Sea M el punto medio del lado BC, tracemos la mediana MA. Afirmamos que ΔABM ≅ ΔACM. En efecto, tenemos que por hipótesis AB =AC y BM =MCpor ser M punto medio de BC, además AM es el lado común para ambos triángulos. Por el criterio L.L.L., ΔABM ≅ ΔACM y por lo tanto tienen congruentes los ángulos. Así B= C.
Además podemos observar que, en el caso del teorema
1. El segmento AM es mediana.
2. El segmento AM es mediatriz pues M es el punto medio de BC y además como 4 + 5 = 180º y 4= 5 entonces 4= 5=90º.
3. El segmento AMes altura, puesto que vimos que 4=5=90º y además AM toca el vértice A.
4. El segmento AM es la bisectriz ya que divide al ángulo A en dos ángulos iguales, pues podemos ver que A =1 + 2 y 1=2.
Corolario 4.1.2 Todo triangulo equilátero tiene sus ángulos interiores iguales.
Ejercicio 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus ángulos iguales , entonces tiene dos de sus lados iguales, los ladosopuestos a dichos ángulos.
Solución. Consideremos el triangulo ABC, en donde ABC = ACB. Demostraremos que AB= AC. Tracemos la altura desde el vértice A y llamemos D a su pie en el segmento BC.
De esta manera ADB= 90º = ADC Después, por el criterio A.A. podemos garantizar que los triangulos ΔADB y ΔADC son semejantes. Y como tales triángulos comparten el lado AD, la razón de semejanza esuno, en otras palabras los triángulos son congruentes se sigue que
AB= AC.
Una consecuencia inmediata de este ejercicio es que un triangulo con todos sus ángulos interiores iguales es equilátero.
Teorema 4.1.3 Si en un triangulo una misma recta hace a la vez dos de las funciones de
1 mediatriz,
2 bisectriz,
3 altura,
4 mediana,
relativas a un mismo lado, entonces hace las otras dosfunciones y el triangulo es isósceles siendo su base dicho lado.
Demostración . Tenemos seis casos posibles.
Caso1.
Consideremos un triangulo ΔABC tal que la recta AD es una que tiene las funciones de mediatriz y bisectriz.
Por ser AD mediatriz, D es el punto medio de BC y AD es perpendicular a BC; además por ser AD bisectriz, BAD= DAC.
De esta manera, tenemos que
1.Como AD y BC son...
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide acada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferenciacircunscrita al triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
Capitulo 4 Triángulos
4.1 Propiedades de los triángulos isósceles
Para un triángulo cualquiera, tenemos las siguientesdefiniciones.
Definición. 4..1.1 La mediana es el segmento de recta trazado del punto medio de un lado al vértice opuesto.
La altura es el segmento de recta perpendicular a un lado o a su prolongación y va al vértice opuesto.
La bisectriz es la recta que sale de un vértice y divide al ángulo interior en dos partes iguales.
La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado y esperpendicular a el.
Teorema 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus lados iguales, entonces tiene dos ángulos iguales, los ángulos opuestos a dichos lados.
Demostración. Sea ABC un triangulo que tiene dos lados iguales AB= AC.
emostraremos Que B = C.
Sea M el punto medio del lado BC, tracemos la mediana MA. Afirmamos que ΔABM ≅ ΔACM. En efecto, tenemos que por hipótesis AB =AC y BM =MCpor ser M punto medio de BC, además AM es el lado común para ambos triángulos. Por el criterio L.L.L., ΔABM ≅ ΔACM y por lo tanto tienen congruentes los ángulos. Así B= C.
Además podemos observar que, en el caso del teorema
1. El segmento AM es mediana.
2. El segmento AM es mediatriz pues M es el punto medio de BC y además como 4 + 5 = 180º y 4= 5 entonces 4= 5=90º.
3. El segmento AMes altura, puesto que vimos que 4=5=90º y además AM toca el vértice A.
4. El segmento AM es la bisectriz ya que divide al ángulo A en dos ángulos iguales, pues podemos ver que A =1 + 2 y 1=2.
Corolario 4.1.2 Todo triangulo equilátero tiene sus ángulos interiores iguales.
Ejercicio 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus ángulos iguales , entonces tiene dos de sus lados iguales, los ladosopuestos a dichos ángulos.
Solución. Consideremos el triangulo ABC, en donde ABC = ACB. Demostraremos que AB= AC. Tracemos la altura desde el vértice A y llamemos D a su pie en el segmento BC.
De esta manera ADB= 90º = ADC Después, por el criterio A.A. podemos garantizar que los triangulos ΔADB y ΔADC son semejantes. Y como tales triángulos comparten el lado AD, la razón de semejanza esuno, en otras palabras los triángulos son congruentes se sigue que
AB= AC.
Una consecuencia inmediata de este ejercicio es que un triangulo con todos sus ángulos interiores iguales es equilátero.
Teorema 4.1.3 Si en un triangulo una misma recta hace a la vez dos de las funciones de
1 mediatriz,
2 bisectriz,
3 altura,
4 mediana,
relativas a un mismo lado, entonces hace las otras dosfunciones y el triangulo es isósceles siendo su base dicho lado.
Demostración . Tenemos seis casos posibles.
Caso1.
Consideremos un triangulo ΔABC tal que la recta AD es una que tiene las funciones de mediatriz y bisectriz.
Por ser AD mediatriz, D es el punto medio de BC y AD es perpendicular a BC; además por ser AD bisectriz, BAD= DAC.
De esta manera, tenemos que
1.Como AD y BC son...
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