Poaodoa
Páginas: 10 (2478 palabras)
Publicado: 21 de diciembre de 2010
CALCULO I Examen de diciembre (Temas 1, 2, 3 y 4)
Diciembre 2010
Apellidos y nombre:
Tiempo: 3h. 1. Se considera la funci´n f (x) = x (1 + log x)2 o a) Dar su dominio de definici´n. Extender por continuidad a los puntos donde sea posible. o (0,5 pto.) b) Hallar los m´ximos y m´ a ınimos relativos y absolutos de la funci´n extendida o c) Esbozar la gr´fica de f a
1
(1 pto.) (1 pto.) (1pto.)
2. a) Calcular
0
x2 − 3x + 1 dx. x2 + 2x + 1
2
b) Estudiar la convergencia de la integral
x+1 √ dx. Calcularla si existe. x 0 c) Sabiendo que f es una funci´n continua definida para x ≥ 0, deriva la ecuaci´n o o
x x2
(1 pto.)
f (t) dt = xe2x +
0 0
√ e−t f ( t) dt (0,5 pto.)
para obtener una f´rmula expl´ o ıcita de f .
∞
3. a) Calcular el radio de convergencia dela serie
n=0
(−1)n (x − 2)n . n+1
(0,5 pto.)
b) Se considera la serie del apartado a), encontrar su intervalo de convergencia incluyendo los extremos. (1 pto.) 2 1−x c) Encontrar la serie (infinita) de Maclaurin de la funci´n f (x) = log o . (1 pto.) 1 + x2 4. a) Determinar las soluciones de la ecuaci´n compleja: o z−i z + =3 (0,5 pto.) 2+i 2−i b) Expresar en las formas bin´mica yexponencial, todos los n´meros complejos que verifican: o u 2 z =z (1 pto.) c) Calcular el inverso del n´mero complejo z = cos a − isen a. Si a = π, determinar en forma u bin´mica las ra´ o ıces cuartas de z. (1 pto.) (1 pto.)
∞
5. Bonificaci´n o Se considera la serie de potencias dada por
n=0
cn xn con radio de convergencia r > 0. Encontrar
∞
el radio de convergencia de la serie de potenciasn=0
cn x3n+1 .
Soluci´n o 1. a) La funci´n no est´ definida si x ≤ 0 por no estarlo log x, luego su dominio es D = (0, ∞). o a Es una funci´n continua en su dominio por ser producto de funciones continuas en R+ . o Estudiamos en x = 0:
x→0+
lim f (x) = lim x (1 + log x)2 = lim
(1 + log x)2 2 (1 + log x) 1/x = lim + + + 1/x −1/x2 x→0 x→0 x→0 1 + log x 1/x = 2 lim = 2 lim x = 0 = 2 limx→0+ −1/x x→0+ x→0+ 1/x2
existe el l´ ımite, no hay as´ ıntota vertical. Se puede extender por continuidad a [0, ∞) tomando f (0) = 0. b) Para hallar los m´ximos y m´ a ınimos relativos y absolutos, calculamos la derivada de la funci´n: o 1 f (x) = (1 + log x)2 + 2x (1 + log x) = (1 + log x) (3 + log x) x La derivada est´ definida en el intervalo (0, ∞) y por tanto, los puntos cr´ a ıticos aestudiar son los que anulan la derivada y x = 0 en el que la derivada no est´ definida. a • En x = 0, la derivada es: f (0) = lim f (x) = lim (1 + log x) (3 + log x) = +∞. Se
x→0+ x→0+
trata de un punto de tangente vertical. 1 1 • La derivada se anula si x = y si x = 3 . e e La derivada es positiva y por tanto, la funci´n es creciente en (0, e1 )∪( 1 , ∞) y la derivada o 3 e es negativa y por tanto,la funci´n es decreciente en ( e1 , 1 ). o 3 e Para determinar los extremos relativos no es necesario calcular la derivada segunda de la funci´n. Como la funci´n es continua en [0, ∞) y a la izquierda de x = e1 es creciente y o o 3 decreciente a la derecha, se trata de un m´ximo relativo y con an´logo razonamiento, se a a ınimo. En x = 0, la funci´n es creciente a la derecha o deduce que en x = 1alcanza un m´ e del punto y tambi´n se trata de un m´ e ınimo. Adem´s, la funci´n es no negativa; ya que si a o x ≥ 0 ⇒ f (x) = x (1 + log x)2 ≥ 0 y se anula en x = 0 y x = 1 , por lo que los dos m´ ınimos e son absolutos. Para ver si el m´ximo es absoluto o no, estudiamos el valor de la funci´n en a o +∞ lim f (x) = lim x (1 + log x)2 = lim x (log x)2 = +∞
x→+∞ x→+∞ x→+∞
Se deduce que elm´ximo es relativo y no absoluto. a 1 La funci´n tiene dos m´ o ınimos absolutos: (0, 0) y , 0 y un m´ximo relativo a e c) Hemos visto que no tiene as´ ıntotas, por tanto, la gr´fica de f queda: a
1 4 , . e3 e3
2. a) Para calcular
x2 − 3x + 1 dx vamos a resolver primero la integral indefinida y luego 2 0 x + 2x + 1 sustituiremos los l´ ımites. Realizando el cociente: x2 − 3x + 1 5x =1− 2 2...
Diciembre 2010
Apellidos y nombre:
Tiempo: 3h. 1. Se considera la funci´n f (x) = x (1 + log x)2 o a) Dar su dominio de definici´n. Extender por continuidad a los puntos donde sea posible. o (0,5 pto.) b) Hallar los m´ximos y m´ a ınimos relativos y absolutos de la funci´n extendida o c) Esbozar la gr´fica de f a
1
(1 pto.) (1 pto.) (1pto.)
2. a) Calcular
0
x2 − 3x + 1 dx. x2 + 2x + 1
2
b) Estudiar la convergencia de la integral
x+1 √ dx. Calcularla si existe. x 0 c) Sabiendo que f es una funci´n continua definida para x ≥ 0, deriva la ecuaci´n o o
x x2
(1 pto.)
f (t) dt = xe2x +
0 0
√ e−t f ( t) dt (0,5 pto.)
para obtener una f´rmula expl´ o ıcita de f .
∞
3. a) Calcular el radio de convergencia dela serie
n=0
(−1)n (x − 2)n . n+1
(0,5 pto.)
b) Se considera la serie del apartado a), encontrar su intervalo de convergencia incluyendo los extremos. (1 pto.) 2 1−x c) Encontrar la serie (infinita) de Maclaurin de la funci´n f (x) = log o . (1 pto.) 1 + x2 4. a) Determinar las soluciones de la ecuaci´n compleja: o z−i z + =3 (0,5 pto.) 2+i 2−i b) Expresar en las formas bin´mica yexponencial, todos los n´meros complejos que verifican: o u 2 z =z (1 pto.) c) Calcular el inverso del n´mero complejo z = cos a − isen a. Si a = π, determinar en forma u bin´mica las ra´ o ıces cuartas de z. (1 pto.) (1 pto.)
∞
5. Bonificaci´n o Se considera la serie de potencias dada por
n=0
cn xn con radio de convergencia r > 0. Encontrar
∞
el radio de convergencia de la serie de potenciasn=0
cn x3n+1 .
Soluci´n o 1. a) La funci´n no est´ definida si x ≤ 0 por no estarlo log x, luego su dominio es D = (0, ∞). o a Es una funci´n continua en su dominio por ser producto de funciones continuas en R+ . o Estudiamos en x = 0:
x→0+
lim f (x) = lim x (1 + log x)2 = lim
(1 + log x)2 2 (1 + log x) 1/x = lim + + + 1/x −1/x2 x→0 x→0 x→0 1 + log x 1/x = 2 lim = 2 lim x = 0 = 2 limx→0+ −1/x x→0+ x→0+ 1/x2
existe el l´ ımite, no hay as´ ıntota vertical. Se puede extender por continuidad a [0, ∞) tomando f (0) = 0. b) Para hallar los m´ximos y m´ a ınimos relativos y absolutos, calculamos la derivada de la funci´n: o 1 f (x) = (1 + log x)2 + 2x (1 + log x) = (1 + log x) (3 + log x) x La derivada est´ definida en el intervalo (0, ∞) y por tanto, los puntos cr´ a ıticos aestudiar son los que anulan la derivada y x = 0 en el que la derivada no est´ definida. a • En x = 0, la derivada es: f (0) = lim f (x) = lim (1 + log x) (3 + log x) = +∞. Se
x→0+ x→0+
trata de un punto de tangente vertical. 1 1 • La derivada se anula si x = y si x = 3 . e e La derivada es positiva y por tanto, la funci´n es creciente en (0, e1 )∪( 1 , ∞) y la derivada o 3 e es negativa y por tanto,la funci´n es decreciente en ( e1 , 1 ). o 3 e Para determinar los extremos relativos no es necesario calcular la derivada segunda de la funci´n. Como la funci´n es continua en [0, ∞) y a la izquierda de x = e1 es creciente y o o 3 decreciente a la derecha, se trata de un m´ximo relativo y con an´logo razonamiento, se a a ınimo. En x = 0, la funci´n es creciente a la derecha o deduce que en x = 1alcanza un m´ e del punto y tambi´n se trata de un m´ e ınimo. Adem´s, la funci´n es no negativa; ya que si a o x ≥ 0 ⇒ f (x) = x (1 + log x)2 ≥ 0 y se anula en x = 0 y x = 1 , por lo que los dos m´ ınimos e son absolutos. Para ver si el m´ximo es absoluto o no, estudiamos el valor de la funci´n en a o +∞ lim f (x) = lim x (1 + log x)2 = lim x (log x)2 = +∞
x→+∞ x→+∞ x→+∞
Se deduce que elm´ximo es relativo y no absoluto. a 1 La funci´n tiene dos m´ o ınimos absolutos: (0, 0) y , 0 y un m´ximo relativo a e c) Hemos visto que no tiene as´ ıntotas, por tanto, la gr´fica de f queda: a
1 4 , . e3 e3
2. a) Para calcular
x2 − 3x + 1 dx vamos a resolver primero la integral indefinida y luego 2 0 x + 2x + 1 sustituiremos los l´ ımites. Realizando el cociente: x2 − 3x + 1 5x =1− 2 2...
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