polares

Coordenadas polares y cartesianas
INTRODUCCIÓN
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientosque no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando.
En este trabajo investigativo se presenta una buena cantidad de gráficos que nospermitirán conocer muchas de las figuras o gráficos que se forman usualmente a través de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicación que consiste en describir el gráfico que resulta de la función y también se dan algunos breves detalles históricos o características que nos permiten reconocer determinado gráfico.
Para hacernos una idea general de los gráficos que sepresentarán durante las páginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarán:
Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:
Coordenadas cartesianas
Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

Coordenadas polares
Concoordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:


Convertir
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:


De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
 
De polares a cartesianas
Si tienesun punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x:
cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:b
x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
 
 
Usamos la función seno para y:
sin( 23 °)= y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
y = 13 × sin(23°)=13×0.391=5.08


Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )




Gráficas en coordenadas polares

OBJETIVO GENERAL
Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones trabajando con coordenadas polares.OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Apreciar las figuras que se forman con funciones en el plano polar.
Visualizar la importancia de las coordenadas polares.
Diferenciar las figuras de funciones formadas en coordenadas polares.
Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de determinadas funciones.

1. Rosa
2. Cardioide
3. Limaçon o caracol
4. Circunferencia
5. Lemniscata
6. Nefroidede Freeth
7. Concoide de Nicómenes
8. Cisoide de Diocles
Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las más importantes o comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada...