polares




Localización de un punto en coordenadas polares.
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al ejex del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentidoantihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Cálculo infinitesimal
El cálculo infinitesimal puedeser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.[
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:


[editar] Conversión decoordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a laimplementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).
Circunferencia


Un círculo con ecuación (θ) = 1.
La ecuación general para una circunferencia con centro en (0, φ) y radio es

En ciertos casosespecíficos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:[8]

Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial quecruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (0, φ) tiene la ecuación



Rosa polar


Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétaloscuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de la ecuación:...