Polares
Páginas: 7 (1541 palabras)
Publicado: 10 de marzo de 2015
Sergio Yansen Núñez
1.
Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0
π
θ = π , en el primer cuadrante.
4
⇒
π
π
A = ∫ 4 π 1 r 2 dθ = 1 ∫ 4 π r 2 dθ = 1 ∫ 4 π cos 2 2θdθ
−4 2
2 −4
2 −4
Por simetría:
π
π
π
1 + cos4θ
A = 1 ⋅ 2 ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4cos 2 2θdθ = ∫ 4
dθ
0
0
0
2
2
π
A = 1 ∫ 4 1 + cos4θdθ = π
8
2 0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
2.
Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3 sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3 sinθ = 1 + sinθ
⇒ sinθ = 1
2
θ= π
6
θ = π − π = 5π
6
6
⇒
,
5π
(en cuadrantes I y II).
5π
A = 1 ∫ π63 sinθ 2 dθ − 1 ∫ π6 1 + sinθ 2 dθ
2 6
2 6
Por simetría, se tiene:
π
π
A = 1 ⋅ 2 ∫ π2 9 sin 2 θdθ − 1 ⋅ 2 ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ
2
2
6
6
π
π
6
6
A = ∫ π2 9 sin 2 θdθ − ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ
π
A = ∫ π2 9 sin 2 θ − 1 + sinθ 2 dθ
6
π
A = ∫ π2 8 sin 2 θ − 1 − 2 sin θ dθ
6
Usando la identidad:
π
A = ∫ π2 8 ⋅
6
sin 2 θ =
1 − cos2θ
2
Área en coordenadas polares
1 −cos2θ
se tiene:
2
− 1 − 2 sin θ dθ
Sergio Yansen Núñez
π
A = ∫ π2 4 − 4 cos 2θ − 1 − 2 sin θdθ
6
π
A = ∫ π2 3 − 4 cos 2θ − 2 sin θdθ = π
6
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
3.
Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata:
r 2 = 9 cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0
π
⇒
θ= π
4
π
, en elprimer cuadrante.
π
A = 4 ⋅ ∫ 4 1 r 2 dθ = 2 ∫ 4 r 2 dθ = 2 ∫ 4 9 cos2θdθ
0 2
0
0
π
A = 18 ∫ 4 cos2θdθ = 9
0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
4.
Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3
θ= π
2
⇒
⇒
cos θ = 0
∨ θ = 3π (menores que 2π)
2
Porsimetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
π
π
A = 2 ⋅ ∫ 2 1 31 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 1 ⋅ 3 2 dθ
0 2
0 2
π
π
A = ∫ 2 91 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 9dθ
0
0
π
A = ∫ 2 91 + cosθ 2 − 9 dθ
0
π
A = 9 ∫ 2 1 + cosθ 2 − 1 dθ
0
π
A = 9 ∫ 2 2 cosθ + cos 2 θdθ
0
π
A = 9 ∫ 2 2 cosθ +
0
1 + cos2θ
dθ
2
π
A = 9 ∫ 2 4 cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
20
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
5.
Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
π
π
A = 2 ⋅ ∫ 1 r 2 dθ = ∫ 2 + cosθ 2 dθ
0 2
0
π
A = ∫ 4 + 4 cosθ + cos 2 θdθ
0
A=∫
π
0
4 + 4 cosθ +
1 + cos2θ
dθ
2
π
A = 1 ∫ 8 + 8 cosθ + 1 + cos2θdθ
2 0
π
A = 1 ∫ 9 + 8 cosθ + cos2θdθ = 9π
2 0
2
Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez
6.
Calcule el área de la región encerrada por r = 4 sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0
π
⇒
θ=0
θ = π (considerando el pétalo del primer cuadrante)
2
∨
π
π
A = 4 ⋅ ∫ 2 1 r 2 dθ = 2 ∫ 2 r 2 dθ = 2 ∫ 2 4 sin2θ 2 dθ
0 2
0
0
π
π
A = 32 ∫ 2 sin 2 2θdθ = 32 ∫ 2
0
π
2
0
1 − cos4θ
dθ
2
A = 16∫ 1 − cos4θdθ = 8π
0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
7.
Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r =
3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ =
3 sinθ
1 + cosθ 2 = 3 sin 2 θ
1 + 2 cosθ + cos 2 θ = 31 − cos 2 θ
1 + 2 cosθ + cos 2 θ − 31 − cos 2 θ = 0
−2 + 2 cosθ + 4 cos 2 θ= 0
2 cos 2 θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12 cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0
θ= π
3
π
A = 1 ∫π
2 3
∨
∨
2 cosθ − 1 = 0
θ=π
3 sinθ
2
, (valores menores que 2π)
π
dθ − 1 ∫ π 1 + cosθ 2 dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1 dθ
2 3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
π
A = 1 ∫ π 31 − cos...
1.
Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0
π
θ = π , en el primer cuadrante.
4
⇒
π
π
A = ∫ 4 π 1 r 2 dθ = 1 ∫ 4 π r 2 dθ = 1 ∫ 4 π cos 2 2θdθ
−4 2
2 −4
2 −4
Por simetría:
π
π
π
1 + cos4θ
A = 1 ⋅ 2 ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4cos 2 2θdθ = ∫ 4
dθ
0
0
0
2
2
π
A = 1 ∫ 4 1 + cos4θdθ = π
8
2 0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
2.
Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3 sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3 sinθ = 1 + sinθ
⇒ sinθ = 1
2
θ= π
6
θ = π − π = 5π
6
6
⇒
,
5π
(en cuadrantes I y II).
5π
A = 1 ∫ π63 sinθ 2 dθ − 1 ∫ π6 1 + sinθ 2 dθ
2 6
2 6
Por simetría, se tiene:
π
π
A = 1 ⋅ 2 ∫ π2 9 sin 2 θdθ − 1 ⋅ 2 ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ
2
2
6
6
π
π
6
6
A = ∫ π2 9 sin 2 θdθ − ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ
π
A = ∫ π2 9 sin 2 θ − 1 + sinθ 2 dθ
6
π
A = ∫ π2 8 sin 2 θ − 1 − 2 sin θ dθ
6
Usando la identidad:
π
A = ∫ π2 8 ⋅
6
sin 2 θ =
1 − cos2θ
2
Área en coordenadas polares
1 −cos2θ
se tiene:
2
− 1 − 2 sin θ dθ
Sergio Yansen Núñez
π
A = ∫ π2 4 − 4 cos 2θ − 1 − 2 sin θdθ
6
π
A = ∫ π2 3 − 4 cos 2θ − 2 sin θdθ = π
6
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
3.
Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata:
r 2 = 9 cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0
π
⇒
θ= π
4
π
, en elprimer cuadrante.
π
A = 4 ⋅ ∫ 4 1 r 2 dθ = 2 ∫ 4 r 2 dθ = 2 ∫ 4 9 cos2θdθ
0 2
0
0
π
A = 18 ∫ 4 cos2θdθ = 9
0
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
4.
Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3
θ= π
2
⇒
⇒
cos θ = 0
∨ θ = 3π (menores que 2π)
2
Porsimetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
π
π
A = 2 ⋅ ∫ 2 1 31 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 1 ⋅ 3 2 dθ
0 2
0 2
π
π
A = ∫ 2 91 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 9dθ
0
0
π
A = ∫ 2 91 + cosθ 2 − 9 dθ
0
π
A = 9 ∫ 2 1 + cosθ 2 − 1 dθ
0
π
A = 9 ∫ 2 2 cosθ + cos 2 θdθ
0
π
A = 9 ∫ 2 2 cosθ +
0
1 + cos2θ
dθ
2
π
A = 9 ∫ 2 4 cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
20
4
Área en coordenadas polares
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5.
Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
π
π
A = 2 ⋅ ∫ 1 r 2 dθ = ∫ 2 + cosθ 2 dθ
0 2
0
π
A = ∫ 4 + 4 cosθ + cos 2 θdθ
0
A=∫
π
0
4 + 4 cosθ +
1 + cos2θ
dθ
2
π
A = 1 ∫ 8 + 8 cosθ + 1 + cos2θdθ
2 0
π
A = 1 ∫ 9 + 8 cosθ + cos2θdθ = 9π
2 0
2
Área en coordenadas polares Sergio Yansen Núñez
6.
Calcule el área de la región encerrada por r = 4 sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0
π
⇒
θ=0
θ = π (considerando el pétalo del primer cuadrante)
2
∨
π
π
A = 4 ⋅ ∫ 2 1 r 2 dθ = 2 ∫ 2 r 2 dθ = 2 ∫ 2 4 sin2θ 2 dθ
0 2
0
0
π
π
A = 32 ∫ 2 sin 2 2θdθ = 32 ∫ 2
0
π
2
0
1 − cos4θ
dθ
2
A = 16∫ 1 − cos4θdθ = 8π
0
Área en coordenadas polares
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7.
Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r =
3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ =
3 sinθ
1 + cosθ 2 = 3 sin 2 θ
1 + 2 cosθ + cos 2 θ = 31 − cos 2 θ
1 + 2 cosθ + cos 2 θ − 31 − cos 2 θ = 0
−2 + 2 cosθ + 4 cos 2 θ= 0
2 cos 2 θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12 cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0
θ= π
3
π
A = 1 ∫π
2 3
∨
∨
2 cosθ − 1 = 0
θ=π
3 sinθ
2
, (valores menores que 2π)
π
dθ − 1 ∫ π 1 + cosθ 2 dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ
2 3
π
A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1 dθ
2 3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
π
A = 1 ∫ π 31 − cos...
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