Polinomio Cuaternario

POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS INFINITAS:
Cuando la distancia h , entre dos argumentos consecutivos cualesquiera es la misma a lo largo de la tabla , el polinomio de Newton en diferenciasdivididas pueden expresarse con más sencillez .Para este propósito se introduce un nuevo parámetro .s, definido en en x=x0 + sh , con el cual se expresa el producto
I=0K-1(X-Xi)
De la ecuación 5.30 entérminos s y h .Para este obsérvese que X1 -X0= h, x2- X0= 2h,….xi – x0= i h y que restando xi (0≤ i ≤ n) , en ambos miembros de x=x0 +ah , se obtieneX – xi =x0 – xi + sh = -ih+sh=h(s-i) para (0≤ i ≤ n)
Por ejemplo si i=1
x-x1=h(s-1)

Por ejemplo si i=2x-x2=h(s-2)
Al sustituir cada una de las diferencias (x-xi) con h (s-i) en la ecuación 5.29, se llega a
pn x=pn x0+sh = fx0+hs f x0,x1+h2ss-1fx0 x1 x2+h3ss-1
s-2x0 ,x1 , x2,x3+…+hnss-1s-2…(s-n-1))fx0 ,x1,….., xn (5.31)

O en forma compacta
Pn(x)= K=0naK hkI=0K-1s-i(5.32)
Esta última ecuación pueden simplificarse aún más si se introduce el operador lineal Δ, conocido como operador lineal en diferencias hacia adelante y definido sobre f(x) comoΔ(x)= f (x+h)- f (x)
La segunda diferencia hacia adelante pueden obtenerse
Δ(Δ f (x)) =Δ2 f (x)= Δ(f (x+h)- f (x))
=Δ f(x+h) –Δ f (x)= f (x+h+h)- f (x+h)- f (x)
= f (x+2h)2 f (x+h)+ f (x)
A su vez las diferencias hacia delante de orden superior se generan como sigue
Δi f (x)=Δ(Δi-1 f (x))
Estas diferencias se conocen como diferencias finitas hacia adelante .Análogamente, cabe definir como operador lineal de diferencias hacia atrás ;así ,la primera diferencia hacia...