polinomios de taylor

Muchas funciones se pueden aproximar mediante polinomios, de forma que se pueden realizar cálculos con el polinomio en lugar de la función original, cuando la diferencia entre los valores de lafunción y el polinomio es pequeña. Para asegurar que la aproximación cuadrática es buena es se considera una función f tal que:

I. (El polinomio y la función f tienen el mismo valor en )
II.(La primera derivada de y la de f tienen el mismo valor en )
III. (La segunda derivada de y la de f tienen el mismo valor en )


1. Para encuentre la aproximación cuadrática quesatisface las condiciones I.II.III, en .





I. y




II. donde

donde








III.donde
donde




Entonces:








Rta:

2. Para obtener una aproximación de una función f mediante un polinomio P cerca de un número c lo mejor es escribir el polinomioP en la forma . Demuestre que en el polinomio P que satisface las condiciones I,II y III, los coeficientes cumplen que:




I.





II.




III.




3. Determine elpolinomio de grado dos que aproxima la función en ; y haga la gráfica de f y del polinomio en winplot.

y

I.











y
II.










yIII.







Entonces:











Rta: y






4. Si se considera polinomios de grado mayor que 2 se obtiene mejores aproximaciones de la función original, asíel polinomio de grado n que tienen las mismas n primeras derivadas en es:



Con Donde y representa la k-ésima derivada de f en c.

a. Para la función dada por la ecuaciónen , encuentre el polinomio de Taylor de grado:
I. DOS
II. TRES
III. CUATRO










I.
II.
III.



b. Use el programa winplot para hacer la gráfica de los polinomios...