Polinomio de taylor

TAYLOR
1. Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas que se estudian en Análisis. Son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos por que sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra función que pueda aproximarse por polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales ytrigonométricas, las cuales no pueden evaluarse tan fácilmente.
Veremos que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que éstas, en lugar de la función original, pueden emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinómica es suficientemente pequeña.
Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dadamediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles Brook Taylor.
Brook Taylor
Nace en Edmonton, Inglaterra en 1685.
Fue discípulo de Newton. Continuó su obra en el campo del análisis matemático. Su Methodus Incrementorum Directo et Inversa, la publica en Londres en 1715, donde describe su fórmula, aunque sindemostrarlo, cosa que hizo Mac-Laurin. (aunque esta fórmula era ya conocida por Gregory y Leibniz, pero no la habían publicado). Allí examinó los cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales definió como incrementos), y presentó el desarrollo en serie de una función de una variable.
Tales estudios no se hicieron famoso enseguida, sino que permanecieron desconocidos hasta 1772, cuando elmatemático francés Joseph Louis de Lagrange, subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo diferencial.
Publicó también varios trabajos sobre perspectiva, dando el primer tratamiento general de los puntos de fuga; sobre los fenómenos de capilaridad, sobre problemas de cuerdas vibrantes y sobre centros de oscilación, a los que ya en 1708 había dado una solución.
Fallece en Londres en 1731.2. Introducción
Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinómicas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También así, darle una visión más amplia al estudiante sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y más centrado en lo práctico y lo necesario para poderrealizarse este tipo de cálculos matemáticos, que en el cálculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar.
En las aproximaciones polinómicas veremos lo sencillo que resulta.
3. Objetivos
Nos vamos a ocupar aquí de la aproximación local f(x) dada, mediante funciones polinómicas P(x), que se buscarán. Hemos llamado "local" a estaaproximación por que se realiza para valores de x próximos a un punto fijo a; las aproximaciones van a ser tanto mejores cuanto más se acerque x al valor a.
Para aproximar a f(x), se recurre a las funciones polinómicas, porque como ya hemos explicado, éstas funciones son realmente más sencillas y más adecuadas para los cálculos numéricos. Para ir ganando precisión hay que tomar funciones polinómicasque sean, cada vez, de mayor grado.
Las mejores aproximaciones se obtienen, si f(x) es suficientemente regular, al tomar para P(x) funciones polinómicas que tienen en x = a las mismas derivadas (primera, segunda, etc,....) que f(x); Éstos, son los llamados polinomios de Taylor en x = a de f(x). Para medir la bondad de estas aproximaciones se necesita conocer algún tipo de acotación del error f(x)– P(x); por ello, obtendremos una expresión de esta diferencia, R(x), que se llama resto o término complementario.

4. Aproximación de funciones por polinomios
Sean, una función f(x) y una función polinómica P(x), donde:
a. f(a) = P(a)
b. son n derivables en x = a y se verifica:
f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a); f’’’(a) = P’’’(a);........f n(a) = P n(a).
Entonces P(x) es una...