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lordveider12
0 i ,puesto que
(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i
El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):
(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i) + (-2 +3 i) = 0
Propiedades del producto de complejos
· Conmutativa
Dados dos complejos a + b.i y c + d.i , se cumple que:
(a + b.i).(c + d.i) = (c + d.i) (a + b.i)
Ejemplo:
(7 - i).(5 + 2.i) = 35 + 14.i - 5.i -2.i ² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
(5 + 2.i).(7 - i) = 35 - 5.i + 14.i -2.i ² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i
· Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + d.i y e + f.i se cumple que:[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c + d.i) (e + f.i)]
Ejemplo:
[(2 - 3.i).(5 + i)].(4 - 7.i) = (10 + 2.i - 15.i - 3.i ²).(4 - 7.i) = (13 - 13.i).(4 - 7.i) = 52 - 91.i - 52.i + 91.i ² =
= - 39 - 143.i
(2 - 3.i).[(5 + i).(4 - 7.i)] = (2 - 3.i).(20 - 35.i + 4.i - 7.i ²) = (2 - 3.i).(27 - 31.i) = 54 - 62.i - 81.i + 93.i ² =
· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo
a + b.i , (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.
El elemento neutro es el uno.
· Distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:
(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)
Ejemplo:
(1 - 2 i) [3 i + (2 - 7 i)] = (1 - 2 i) (2 - 4 i) = 2 - 4 i- 4 i + 8 i ² = -6 - 8 i
(1 - 2 i) 3 i + (1 - 2 i) (2 - 7 i) = (3 i - 6 i ²) + (2 - 7 i - 4 i + 14 i ²) = (3 i + 6) + (-12 - 11 i) = - 6 - 8 i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C,o también (C, +, ·).
· Elementosimétrico respecto del producto
Dado un complejo cualquiera a + b.i , distinto de 0 + 0 i , existe otro complejo que, multiplicado por él,da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i.
Demostración:
Se intentará calcular el inverso de a + b.i , x + y.i.
Ha de verificarse que (a + b.i) (x + y.i) = 1 + 0 i
(a + b.i).(x + y.i) = (ax - by) + (ay + bx) i . Por tanto ha de ser:
ax - by = 1,multiplicando por a se tiene: a ² x - aby = a
bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b ² x + aby = 0
Sumando (a ² + b ²).x = a ⇒ x = a/(a ² + b ²)
Despejando y en la segunda ecuación:

El inverso de un número complejo z = a + b.i , se suele denotar por 1/z ó z-1.
Por tanto, si z = a + b.i ,
1/z = a/(a ² + b ²) - b.i/(a ² + b ²)
El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativocon la suma y el producto definidos.
División de números complejos
La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.
Ejercicios de aplicación
1) Dividir z/w, siendo z = 3 + 5.i y w = 1 - i.
Resolución:
1/w = 1/[1 ² + (-1) ²] - (-1.i)/[1 ² + (-1) ²] = 1/2 + i/2
z/w =z.(1/w) = (3 + 5.i) .(1/2 + i/2) = 3/2 + 3.i/2 + 5.i/2 + 5.i ²/2 = 3/2 - 5/2 + 8.i/2 = -1 + 4.i
2) Efectuar la operación [(5 - 3.i).(1 + i)/(1 - i) + 3.i]
Resolución:

1/(1 + 2.i) = 1/(1 ² + 2 ²) - 2.i/(1 ² + 2 ²) = 1/5 - 2.i/5
(8 + 2.i)/(1 + 2.i) = (8 + 2.i)(1/5 - 2.i/5) = 8/5 + 16.i/5 + 2.i/5 - 4.i ²/5 = 8/5 - 14.i/5 + 4/5 = 12/5 - 12.i/5
Raíces cuadradas de un número complejo
Además delmétodo general que se verá más adelante para calcular raíces cualesquiera de un número complejo argumental, existe un procedimiento para hallar específicamente las raíces cuadradas de un complejo en su forma binómica.
El procedimiento es idéntico en todos los casos, por lo que bastará con aplicarlo una vez.
Se va a intentar hallar las raíces cuadradas del complejo 7 + 24 i.
Sea a + b.i una de...