Postulados del Niels Bohr

EL MODELO ATOMICO DE BOHR
En 1913, Niels Bohr ide´ un modelo at´mico que explica perfectamente los espectros
o
o
determinados experimentalmente para ´tomos hidrogenoides. Estos son sistemas fora
mados solamente por dos cargas, una positiva y una negativa, y ejemplos de ellos
son el ´tomo de hidr´geno, H, los iones He+ , Li+2 , Be+3 , . . . .
a
o
El modelo de Bohr se puede describir pormedio de cuatro postulados:
Postulado I
Un ´tomo hidrogenoide consta de un n´cleo central con carga +Ze (d´nde Z es el
a
u
o
n´mero at´mico) y de un electr´n de carga −e girando alrededor del n´cleo en una
u
o
o
u
´rbita circular de radio r con velocidad v constante.
o
Un electr´n que gira alrededor de un n´cleo en una ´rbita de radio r y con
o
u
o
velocidad v se encuentra sujeto ala fuerza de atracci´n electrost´tica que el n´cleo
o
a
u
de carga +Ze ejerce sobre ´l:
e
Fe =

(Ze)(−e)
Ze2
=− 2
r2
r

y a la fuerza centr´
ıfuga:
mv 2
r
A fin de que la ´rbita sea estable estas fuerzas deben compensarse, y cumplirse que:
o
Fc =

mv 2 Ze2
− 2 =0
(1)
r
r
En la ecuaci´n anterior hay dos inc´gnitas, r y v, por lo que para conocerlas es
o
o
necesarioencontrar otra relaci´n entre ellas. Esta se obtiene del segundo postulado
o
de Bohr, el cual impone una condici´n sobre el momento angular del electr´n.
o
o
Postulado II
El electr´n recorre una determinada ´rbita n con momento angular:
o
o
L = mvr = n

h
2π

= n¯
h

n = 1, 2, . . .

(2)

El segundo postulado implica que el momento angular del electr´n est´ cuantio
a
zado, esdecir, que s´lo puede adquirir determinados valores caracterizados por el
o
n´mero cu´ntico n. La ecuaci´n 2 se puede explicar utilizando una simple analog´
u
a
o
ıa
entre el movimiento de la part´
ıcula y una onda estacionaria montada sobre la ´rbita,
o
1

como se explica a continuaci´n.
o
Para que se establezca una onda estacionaria sobre el per´
ımetro 2πr de la ´rbita
ocircular, ´sta debe ser tal que quepan un n´mero entero de longitudes de onda:
e
u
2πr = nλ

n = 1, 2, . . .

(3)

Si n no fuera un n´mero entero, las posiciones de los nodos cambiar´ en cada
u
ıan
vuelta y la onda no ser´ estacionaria. Aplicando la relaci´n de de Broglie a la ec. 3
ıa
o
se tiene que:
2πr = n

h
nh
=
p
mv

o sea:
mvr = n¯
h
que es justamente el segundopostulado.
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 1 y 2 se pueden obtener expresiones para las inc´gnitas rn y vn correspondientes al radio y a la velocidad del
o
electr´n cuando ocupa la ´rbita n:
o
o
n2 ¯ 2
h
2m
Ze

(4)

Ze2
n¯
h
=
mrn
n¯
h

(5)

rn =
y
vn =

Asimismo se puede determinar la energ´ total En del electr´n en la ´rbita n:
ıa
o
o
En (total) = En(cin´tica) + En (potencial)
e
1
Ze2
2
=
mvn −
2
rn
De la ec. 1:
2
mvn =

Ze2
rn

de modo que:
En = −
2

1 Ze2
2 rn

(6)

Se observa que la energ´ total es la mitad de la energ´ potencial. Esta propiedad,
ıa
ıa
llamada teorema del virial, es v´lida para todos los sistemas en los cuales el potencial
a
es una funci´n homog´nea de grado (-1) en las coordenadas.
o
eSubstituyendo rn por su valor (ec. 4) se tiene, finalmente la expresi´n para la
o
energ´
ıa:
En = −

e4 m
2¯ 2
h

Z2
n2

(7)

Es interesante notar que las energ´ En est´n cuantizadas. Adem´s, todas son
ıas
a
a
negativas y En tiende a cero cuando n tiende a infinito. Lo anterior es consecuencia de que el cero de energ´ potencial se ha escogido como el estado en que el
ıa
electr´n y eln´cleo se encuentran infinitamente separados, de manera que la energ´
o
u
ıa
en cualquier estado ligado es menor que en el estado separado. Las energ´ en
ıas
orden creciente corresponden al orden creciente del n´mero cu´ntico n; los En son
u
a
los niveles de energ´
ıa.

0.1

UNIDADES ATOMICAS

Es conveniente agrupar las constantes fundamentales m, e y ¯ en las ecuaciones
h
ec....