Potenciación

Potenciación
Gráfica de varias funciones potencia.








La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an  y se lee usualmente como « a elevado a n » o « a elevado a la n » y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.
Definición
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n esel exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.
Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualquiera:

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como puedenser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

Ejemplos:

Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambosexponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación  se reserva para significar  ya que  se puede escribir sencillamente como .
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:


Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entoncesse tiene la regla:
si n es par.
si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por  y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:



Observación

División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente elresultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:

Ejemplo:

Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:1 2

El caso particular de , en principio, no está definido (ver cero).
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado almismo exponente.
 

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:


Exponente racional
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x seaun número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

Observación

En general para las fracciones se define que:
(4)
Relación
 
PropiedadesExponente real
Artículo principal: Exponenciación.
Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales  que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión  que se escribe como:

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoje en el siguiente teorema:
Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como...