Pr3
Páginas: 11 (2639 palabras)
Publicado: 23 de junio de 2015
Derivación e integración numéricas
à Obtención de fórmulas de tipo interpolatorio
Para obtener fórmulas de derivación o integración numéricas a partir de la interpolación polinómica necesitamos calcular, en
primer lugar, el polinomio de interpolación y después la derivada correspondiente en un punto a o la integral en un intervalo
@a, bD . En lo que respecta a la derivación numérica,consideraremos distintos órdenes de derivación. Los datos de interpolación para las fórmulas de derivación numérica serán lagrangianos y para la integración numérica serán lagrangianos y de
tipo Hermite. El polinomio interpolador se obtiene, en todos los casos, con la orden InterpolatingPolynomial.
ü Obtención de fórmulas de derivación numérica
En la derivación numérica, los nodos de la fórmula, es decir lospuntos de interpolación de la función f , serán el punto a y
puntos a su derecha e izquierda, de la forma a - h , a + h , a + 2 h , etc. La primera fórmula que vamos a obtener es la que
utiliza los nodos a y a + h para la derivada primera.
In[1]:= Clear@a, h, f, x, datosD
datos = 88a, f@aD<, 8a + h, f@a + hD<<;
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol '@aDD
Out[4]=−f@aD + f@a + hD
h
Obsérve cómo se ha expresado la derivada del polinomio respecto de su variable.
A continuación vamos a usar los nodos a - h , a y a + h para la derivada primera.
In[5]:= datos = 88a − h, f@a − hD<, 8a, f@aD<, 8a + h, f@a + hD<<;
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol '@aDD
Out[7]=
−f@a − hD + f@a + hD
2h
Es una fórmula con sólo dos nodos (elcoeficiente de f HaL vale cero). Por último, para la derivada primera, vamos a obtener
una fórmula (que no se suele usar) que utiliza los nodos a , a + h y a + 3 h .
314
In[8]:= datos = 88a, f@aD<, 8a + h, f@a + hD<, 8a + 3 h, f@a + 3 hD<<;
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol '@aDD
Out[10]= −
8 f@aD − 9 f@a + hD + f@a + 3 hD
6h
Ahora vamos a obtener una fórmulapara la derivada segunda, concretamente la que usa cinco nodos simétricos, a - 2 h ,
a - h, a, a + h y a + 2 h
In[11]:= datos = Table@8a + i h, f@a + i hD<, 8i, −2, 2
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol ''@aDD
Out[13]= −
30 f@aD + f@a − 2 hD − 16 f@a − hD − 16 f@a + hD + f@a + 2 hD
12 h2
De igual forma se obtendría cualquier otra fórmula. A continuación vamos aanalizar el orden de precisión de la última
fórmula obtenida. Tenemos que ver hasta qué potencia del tipo xi es exacta. De antemano, para i = 0, 1, 2, 3 y 4 está
garantizada la exactitud por ser la fórmula de tipo interpolatorio. Al probar con i = 5 observamos que la fórmula da como
resultado 20 a3 , es decir el valor exacto de la derivada. Para i = 6 el valor proporcionado es 30 a4 - 8 h4 ,diferente de 30 a4 .
Luego el orden de precisión es 5.
In[14]:= f@x_D := x5
SimplifyA−
30 f@aD + f@a − 2 hD − 16 f@a − hD − 16 f@a + hD + f@a + 2 hD
12 h2
E
6
f@x_D := x
SimplifyA−
30 f@aD + f@a − 2 hD − 16 f@a − hD − 16 f@a + hD + f@a + 2 hD
12 h2
E
Out[15]= 20 a3
Out[17]= 30 a4 − 8 h4
ü Comportamiento del error en las fórmulas de derivación numérica
Como es conocido, aunque sea muy simple,toda fórmula de derivación numérica que se obtuvo en el desarrollo teórico es
convergente. Los errores tienden a cero cuando h tiende a cero. Sin embargo, en la computación aparecen otros errores que
pueden desaconsejar el uso de valores muy pequeños de h si se quiere una buena aproximación. Es lo que ocurre con el
error de cancelación en las fórmulas de derivación numérica. Veámoslo. Vamos a darel valor de las derivadas numéricas de
HaL
una función f en el punto a = 2 , con la fórmula f Ha+hL−f
para valores de h de la forma h = 10- j con j ¥ 1 .Veremos
h
que llega un momento en el que la derivada numérica deja de converger, con unas oscilaciones no controlables, para
después pasar a valer cero, porque el numerador vale cero. Esto último ocurre cuando h es tan pequeño que para el...
à Obtención de fórmulas de tipo interpolatorio
Para obtener fórmulas de derivación o integración numéricas a partir de la interpolación polinómica necesitamos calcular, en
primer lugar, el polinomio de interpolación y después la derivada correspondiente en un punto a o la integral en un intervalo
@a, bD . En lo que respecta a la derivación numérica,consideraremos distintos órdenes de derivación. Los datos de interpolación para las fórmulas de derivación numérica serán lagrangianos y para la integración numérica serán lagrangianos y de
tipo Hermite. El polinomio interpolador se obtiene, en todos los casos, con la orden InterpolatingPolynomial.
ü Obtención de fórmulas de derivación numérica
En la derivación numérica, los nodos de la fórmula, es decir lospuntos de interpolación de la función f , serán el punto a y
puntos a su derecha e izquierda, de la forma a - h , a + h , a + 2 h , etc. La primera fórmula que vamos a obtener es la que
utiliza los nodos a y a + h para la derivada primera.
In[1]:= Clear@a, h, f, x, datosD
datos = 88a, f@aD<, 8a + h, f@a + hD<<;
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol '@aDD
Out[4]=−f@aD + f@a + hD
h
Obsérve cómo se ha expresado la derivada del polinomio respecto de su variable.
A continuación vamos a usar los nodos a - h , a y a + h para la derivada primera.
In[5]:= datos = 88a − h, f@a − hD<, 8a, f@aD<, 8a + h, f@a + hD<<;
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol '@aDD
Out[7]=
−f@a − hD + f@a + hD
2h
Es una fórmula con sólo dos nodos (elcoeficiente de f HaL vale cero). Por último, para la derivada primera, vamos a obtener
una fórmula (que no se suele usar) que utiliza los nodos a , a + h y a + 3 h .
314
In[8]:= datos = 88a, f@aD<, 8a + h, f@a + hD<, 8a + 3 h, f@a + 3 hD<<;
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol '@aDD
Out[10]= −
8 f@aD − 9 f@a + hD + f@a + 3 hD
6h
Ahora vamos a obtener una fórmulapara la derivada segunda, concretamente la que usa cinco nodos simétricos, a - 2 h ,
a - h, a, a + h y a + 2 h
In[11]:= datos = Table@8a + i h, f@a + i hD<, 8i, −2, 2
pol@x_D = Simplify@InterpolatingPolynomial@datos, xDD;
Simplify@pol ''@aDD
Out[13]= −
30 f@aD + f@a − 2 hD − 16 f@a − hD − 16 f@a + hD + f@a + 2 hD
12 h2
De igual forma se obtendría cualquier otra fórmula. A continuación vamos aanalizar el orden de precisión de la última
fórmula obtenida. Tenemos que ver hasta qué potencia del tipo xi es exacta. De antemano, para i = 0, 1, 2, 3 y 4 está
garantizada la exactitud por ser la fórmula de tipo interpolatorio. Al probar con i = 5 observamos que la fórmula da como
resultado 20 a3 , es decir el valor exacto de la derivada. Para i = 6 el valor proporcionado es 30 a4 - 8 h4 ,diferente de 30 a4 .
Luego el orden de precisión es 5.
In[14]:= f@x_D := x5
SimplifyA−
30 f@aD + f@a − 2 hD − 16 f@a − hD − 16 f@a + hD + f@a + 2 hD
12 h2
E
6
f@x_D := x
SimplifyA−
30 f@aD + f@a − 2 hD − 16 f@a − hD − 16 f@a + hD + f@a + 2 hD
12 h2
E
Out[15]= 20 a3
Out[17]= 30 a4 − 8 h4
ü Comportamiento del error en las fórmulas de derivación numérica
Como es conocido, aunque sea muy simple,toda fórmula de derivación numérica que se obtuvo en el desarrollo teórico es
convergente. Los errores tienden a cero cuando h tiende a cero. Sin embargo, en la computación aparecen otros errores que
pueden desaconsejar el uso de valores muy pequeños de h si se quiere una buena aproximación. Es lo que ocurre con el
error de cancelación en las fórmulas de derivación numérica. Veámoslo. Vamos a darel valor de las derivadas numéricas de
HaL
una función f en el punto a = 2 , con la fórmula f Ha+hL−f
para valores de h de la forma h = 10- j con j ¥ 1 .Veremos
h
que llega un momento en el que la derivada numérica deja de converger, con unas oscilaciones no controlables, para
después pasar a valer cero, porque el numerador vale cero. Esto último ocurre cuando h es tan pequeño que para el...
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