Pra üctica2P I2015

MA-1210

Práctica del Segundo Parcial

Los siguientes ejercicios pueden ser verificados con la ayuda del profesor del curso en
horas de consulta.

I-CICLO 2015

3. Responda las siguiente preguntas basadas en la
imagen que se muestra

1. Asocie el gráfico de la función (de la (A)-(C))
con el gráfico de su derivada(de la (I)-(III)).

(a) Cuántos puntos críticos posee f ?
(b) Cuál es el valor máximode f en [0,8]?
(c) Cuáles son los máximos locales de f ?
(d) Encuentre un intervalo en el cual el valor
mínimo ocurre en los extremos del intervalo.
(e) Encuentre un intervalo cerrado en el cual el
máximo y el mínimo se encuentre en puntos críticos.
4. Encuentre los puntos críticos de las siguientes
funciones y grafíquelas.
(a) y = |x − 2|.
(b) y = |x2 + 4x − 14|
(c) y = |3x − 9|
2. En cada unode los gráficos se muestra la función
f (x) y su derivada f (x). Determine cuál es la
función y cuál su derivada.

5. Encuentre las condiciones sobre a y b que garantizan que la función f dada por
f (x) = x3 + ax + b
es creciente en el intervalo (−∞, ∞).
x(x2 − 1)
es la derivada
6. Suponga que h(x) =
x2 + 1
de una función f (x), tal que f(0)=3. Haga el
estudio gráfico de f con todos los detalles.7. La figura que se muestra a continuación es la
derivada de f (x).
1

J .A .L

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(b) Los puntos donde ocurre el máximo y mínimo .
(c) Determine los intervalos donde f tiene las
siguientes propiedades:
i.
ii.
iii.
iv.

Creciente
Decreciente
Cóncava hacia arriba.
Cóncava hacia abajo.

10. Encuentre los puntos críticos de f (x) y use el
criterio dela segunda derivada para determinar
si cada uno corresponde a un máximo o mínimo:

Encuentre los puntos críticos de f y determine
si son extremos locales.
8. Asocie los gráficos de la figura con la descripción:
(a) f (x) < 0 para todos los x.

(a) f (x) = 3x3/2 − x1/2
1
(b) f (x) = 2
x −x+2

(b) f (x) > 0 para todos los x.

(c) f (x) = xe−x

(c) f (x) va de + a -.

(d) f (x) = x3 log(x) , x > 0(d) f (x) va de - a +.

(e) f (x) = ex + e−2x

2

(f) f (x) = log(x) + log(4 − x2 ), 0 < x < 2.
11. Encuentre la función y sujeta a la condición
dada:
(a) y = 4x7 , y(0) = 4.
(b) y = 5 − 2t2 , y(1) = 2.
1
(c) y = x3 + 4x−2 , y(1) = .
4
√
1 3
4
(d) y = √
( 1 + x3 ), y(0) = 5.
4
x

9. La figura que se muestra a continuación muestra
la gráfica de f (x) en [0, 56 ].

12. Encuentre los valores de a, b,c y d para que el
gáfico del polinomio
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
sea:
(a) Convexa para x < 2.
(b) Cóncava para x > 2.
(c) Decreciente cuando x < 1.
(d) Creciente cuando 1 < x < 3.
(e) Decreciente cuando x > 3.

(a) Localice los puntos de inflexión de f (x)
2

J .A .L

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13. Encuentre la sustitución adecuada que permita
calcular la siguientes integrales

(c)x3
dx
(x4 + 1)
et
dt
e2t + 2et + 1
√
n
x5 x3 + 1dx

(d)

(x2 − 2)(x3 − 6x)207 dx

(a)
(b)

(e)
(f)

17. Calcular el área de la figura limitada por las
curvas y 3 = x, y = 1 y la recta vertical x = 8.
18. Calcular en área comprendida entre la curva
xy = m2 , las rectas verticales x = a y x = 3a y
el eje x.
19. Si

(h)




2x si 0 < x < 1,
3 si x = 1,
f (x) =

6x − 1 si 1 < x < 2.
2

(ln x)8 + 1dx
x
3 x
e − e−x
dx
x
−x
0 e +e

f (x)dx. Interprete el resultado

Encuentre
0

geométricamente.
20. Grafique la función y 2 (x2 − 4) = x4 , donde y >
0. Para ello considere las primeras derivadas:

e2

(g)

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dx
x(log(x))3
e
8 √
√
( 2x + x)dx

y =

x3 − 8x

y =

3

(x2 − 4) 2

4x2 + 32
5

(x2 − 4) 2

0

21. Encuentre el área de la región que se encuentra
fuera del círculo de radio 1,entre las parábolas
y = 14 x2 − 1 y la parábola y = 1 − 14 x2 .

14. Muestre que se cumple la siguiente igualdad
√
3
2
x x + 1dx = (3x − 2)(1 + x) 2 + C
15

1
3

Use el resultado para evaluar

√
x 1 + xdx.
−2.

0

Sug. Utilice la definicón de antiderivada.
15. Verifique que el
xdx
√
es:
2
x + 2x + 5

resultado

de

0

2.

-1
22. Calcule el área sombreada que se muestra en la
figura

integrar

√...