Practica 1 comunicaciones
Páginas: 6 (1466 palabras)
Publicado: 21 de marzo de 2013
INTRODUCCIÓN
Antecedentes históricos:
Las series trigonométricas surgieron en la Matemática en el siglo XVIII, en relación con el estudio de las pequeñas oscilaciones de medios elásticos y su influencia fue decisiva en el desarrollo del Análisis a lo largo del siglo XIX.
Las series y transformadas de Fourier tienen aplicaciones en diversas ramas de la matemática y de la físicamatemática, desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica.
La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series deFourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D'Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín.
Muchos Matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f (x) cualquiera como suma de senos y cosenos.
Fue un ingeniero, Joseph Fourier en (1807), el que se encargo de recopilar datos paraconvencer al mundo científico de tal posibilidad.
Fundamentos teóricos:
Definición:
Si es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a es:
Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:
Los coeficientes ahora serían:
Otraforma de definir la serie de Fourier es:
Donde y
Siendo:
A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.
Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica:
Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito dediscontinuidades, de período 2p. Sean
y
Entonces la serie converge a
En donde , y
Forma compacta:
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosenoidales en lugar de amplitudes cosenoidales y senoidale.
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
donde
Forma exponencial:
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja,operando adecuadamente, si
la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
En forma más compacta:
Estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
donde
Ingeniería:
El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, porcuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:
Por lo tanto:
Aplicaciones:
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
Reforzamiento deseñales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmentecomputables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
OBJETIVO PARTICULAR: Verificar el funcionamiento de MATLAB y aplicarlo para graficar una función por medio de aproximación con series de Fourier y realizar sus gráficas.
PRINCIPALES COMANDOS:
Operadores:
Funciones básicas elementales:...
INTRODUCCIÓN
Antecedentes históricos:
Las series trigonométricas surgieron en la Matemática en el siglo XVIII, en relación con el estudio de las pequeñas oscilaciones de medios elásticos y su influencia fue decisiva en el desarrollo del Análisis a lo largo del siglo XIX.
Las series y transformadas de Fourier tienen aplicaciones en diversas ramas de la matemática y de la físicamatemática, desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica.
La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series deFourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D'Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín.
Muchos Matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f (x) cualquiera como suma de senos y cosenos.
Fue un ingeniero, Joseph Fourier en (1807), el que se encargo de recopilar datos paraconvencer al mundo científico de tal posibilidad.
Fundamentos teóricos:
Definición:
Si es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a es:
Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:
Los coeficientes ahora serían:
Otraforma de definir la serie de Fourier es:
Donde y
Siendo:
A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.
Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica:
Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito dediscontinuidades, de período 2p. Sean
y
Entonces la serie converge a
En donde , y
Forma compacta:
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosenoidales en lugar de amplitudes cosenoidales y senoidale.
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
donde
Forma exponencial:
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja,operando adecuadamente, si
la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
En forma más compacta:
Estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
donde
Ingeniería:
El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, porcuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:
Por lo tanto:
Aplicaciones:
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
Reforzamiento deseñales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmentecomputables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
OBJETIVO PARTICULAR: Verificar el funcionamiento de MATLAB y aplicarlo para graficar una función por medio de aproximación con series de Fourier y realizar sus gráficas.
PRINCIPALES COMANDOS:
Operadores:
Funciones básicas elementales:...
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