Practica Algebra

Álgebra Lineal & Métodos Numéricos
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

Grado en Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación
Grado en Ingeniería Telemática

Guión resumen del tema 1
Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales 1
1. Matrices
En general A = (ai,j )1≤i≤n,1≤j ≤m indica una matriz de tipo (n, m), es decir con n las y m
columnas. El elemento de la matriz dela forma ai,j está situado en la la i y columna j . A partir
de A se puede denir la matriz traspuesta At intercambiando las por columnas. Una matriz
se denomina simétrica si coincide con su matriz traspuesta. La matriz At es de tipo (m, n). Si
n = m entonces la matriz se dice que es cuadrada de orden n. En particular In representa a la
matriz unidad de orden n.
Si A = (ai,j ) es una matrizcuadrada, diremos que es:

Diagonal si ai,j = 0 para todo i = j .
Triangular superior si ai,j = 0 para todo j < i.
Triangular inferior si ai,j = 0 para todo i < j .
Una matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior. Una matriz A se dice escalonada
si:
(a) Las las posteriores a una la de elementos nulos tienen también los elementos nulos.
(b) El número de elementos nulos alcomienzo de una la no nula es estrictamente menor que
en la siguiente.
Una matriz A se dice escalonada canónica si:
(a) El primer elemento no nulo de cada la, si existe, es igual a 1 y es el único elemento no
nulo de la columna que ocupa.

1.1. Operaciones con matrices
Producto de una matriz por un número. Dada A = (ai,j ) de tipo (n, m) y λ ∈ R, se
dene el producto λA como la matrizde elementos (λai,j ). La matriz λA es de tipo (n, m).

Suma de dos matrices. Dadas dos matrices A = (ai,j ) y B = (bi,j ) ambas de tipo (n, m),

se dene la suma A + B como la matriz de elementos (ai,j + bi,j ). La matriz A + B es también
de tipo (n, m).

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Material elaborado por M. Moncayo.

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Producto de dos matrices. Dadas las matrices A = (ai,j ) de tipo (n, m) y B = (bi,j ) detipo (m, p), se dene el producto AB como la matriz C = (ci,j ) de tipo (n, p), donde cada
elemento viene dado por

ci,j

= ai,1 b1,j + ai,2 b2,j + · · · ai,m bm,j
m

=

ai,k bk,j .
k=1

El producto de dos matrices no es, en general, conmutativo.

1.2. Operaciones elementales
Las operaciones o transformaciones elementales por las son las siguientes:

Fi,j : intercambiar laslas i, j .
Fi (s): Multiplicar la la i por el número s = 0.
Fi,j (s): Sumar a la la i la la j multiplicada por el número s = 0.
Las operaciones análogas por columnas se designan por Ci,j , Ci (s) y Ci,j (s). Mediante operaciones
elementales, una matriz se puede transformar de múltiples maneras en una matriz escalonada
y/o escalonada canónica.

2. Determinantes
Sea A una matriz cuadradade orden n. Representamos por Fi a la la i-ésima de A y por
Cj a la columna j -ésima de A. Convenimos que A = (F1 , F2 , · · · , Fn ) = (C1 , C2 , ..., Cn ). A cada
matriz cuadrada A se le asigna un número que llamaremos determinante de A. Ese número
se representa como |A| o det(A) = det(F1 , F2 , · · · , Fn ) = det(C1 , C2 , ..., Cn ) y se caracteriza por
ser el único número que cumple losiguiente:
(a) Si A tiene dos las iguales entonces det(A)=0.
(b) det(F1 , · · · , s Fi , · · · , Fn ) = s det(F1 , · · · , Fi , · · · , Fn ), para cualquier número s.
(c) det(F1 , · · · , Fi + Gi , · · · , Fn ) = det(F1 , · · · , Fi , · · · , Fn ) + det(F1 , · · · , Gi , · · · , Fn ).
(d) det(In ) = 1.

2.1. Propiedades del determinante
(a) det(A) = det(At ). Como consecuencia, todo loenunciado para las es válido para las
columnas.
(b) Si A tiene una la de ceros, entonces det(A) = 0.
(c) det(F1 , · · · , Fi , · · · , Fj , · · · , Fn ) = − det(F1 , · · · , Fj , · · · , Fi , · · · , Fn ), para todo i, j ∈ {1, 2, · · · , n},
i = j.
(d) det(F1 , · · · , Fi , · · · , Fn ) = det(F1 , · · · , Fi + s Fj , · · · , Fn ), para todo i, j ∈ {1, 2, · · · , n},
i = j y s ∈ R.
(e) Si B...