preliminares al calculo


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PRELIMINARES






1.1 LOS NUMEROS REALES

Las bases del cálculo descansan en las propiedades de los números reales. Pero antes de dar una definición de estos, definiremos algunos conjuntos de números dentro de ellos.

Al conjunto de los números que nos sirven para contar le llamamos Números Naturales, los cuales, normalmente se representan por N= 1,2,3,…... Si a esteconjunto añadimos los enteros negativos y el número real cero, obtenemos el conjunto de los Números Enteros representados por I=..…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …...

Los Números Racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros a/b, donde .

El conjunto de Números Racionales se denota por el símbolo Q. Como ejemplo de ellos tenemos:

, , , y

Nótese queincluimos y y aunque por lo general se escribirán como 7 y -5, ya que éstos son el resultado de su división respectiva.

Los Números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros se les llama Números Irracionales, los cuales se denotan por el símbolo H. Algunos de ellos son:

,  , e, etc.


A la unión de los Números Racionales con los Irracionales sellama Números Reales, los cuales se denotan por el símbolos R. Por tanto:


R = QUH


La Recta Numérica

Si trazamos una recta horizontal l sobre la cual marcamos un punto elegido llamado origen, y establecemos una escala de graduación equidistante cuyas marcas representen unidades enteras, tendremos una recta numérica sobre la que se puede ubicar cualquier número real.

Cada puntoestablecido sobre l tiene una correspondencia biunívoca, es decir, a cada número a le corresponde uno y sólo un punto P en dicha recta. Para ilustrar esta correspondencia, observamos en la figura 1.1 varios puntos que corresponden a Números Reales.



El número a que se asocia a un punto A en l se llama coordenada A. Así también el número  que se asocia al punto 0 en l se llama coordenadade 0.

También se observa en la figura, que los números positivos se sitúan a la derecha del origen y los números negativos a la izquierda del mismo. el número  no es positivo ni negativo.




Desigualdades

Si a y b son números reales y b-a es positivo, se dice que “b es mayor que a” y se escribe ba. esto equivale a decir que “a es menor que b” (ab). En la recta numérica, ab significaque el número a está a la izquierda del número b como se observa en la figura 1.1 los símbolos  y  se llaman signos de desigualdades.

Las desigualdades hasta aquí estudiadas solamente comparan dos números reales. Pero también al igual que las ecuaciones, las desigualdades pueden formar un sistema el cual debe resolverse para encontrar los números reales que la hacen verdadera.

Adiferencia de las ecuaciones que tienen soluciones finitas, una desigualdad puede tener un conjunto solución o en varios casos la unión de 2 o más de ellos. A estos conjuntos se les llama intervalos.

Intervalos

Si a b, el conjunto de números reales x que son simultáneamente menores que b y mayores que a, se representa por xaxb, o simplemente axb. Este conjunto se denomina intervaloabierto y se denota por (a,b). Donde a y b se llaman extremos del intervalo. La figura 1.2 muestra una amplia variedad de intervalos y su notación respectiva.

NOMBRE
SÍMBOLO
DEFINICION
REPRESENTACION GRAFICA

Intervalo abierto


(a,b)

 x  a  x  b 





Intervalo cerrado

a,b
 x  a  x  b 





Intervalos semiabiertos
(a,b
 x  a  x  b 






a,b) x  a  x  b 





Intervalos infinitos
(a,)
 x  x  a 






a, )
 x  x  a 






(-,b)
 x  x  b 


(-,b
 x  x  b 







(-,)

x  -  x  



Fig. 1.2

Los símbolos  e - se leen “infinito” e “infinito negativo”, respectivamente, y no representan números reales,...