PREOBLEMAS DE OPTIMIZACION DE FUNCIONES

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE
FUNCIONES
1.- Halla dos números que sumados den 20 y cuyo producto sea máximo.
Sean x e y los números buscados. El problema a resolver es el siguiente:
 x  y  20

 xy máximo
Llamamos p al producto de los dos números, esto es, p  xy [*]
Como x  y  20  y  20  x y sustituyendo en [*] resulta:
p  x20  x   20 x  x 2
Vamos a calcular el (o los)máximo(s) de la función p  x  :
p '  x   20  2 x
p '  x   0  20  2 x  0  x  10
p ' '  x   2
p ' ' 10   0  x  10 es un máximo
Por tanto, los números buscados son:
 x  10

 y  20  10  10
2.- Halla dos números tales que el cuadrado de uno multiplicado por el otro sea
máximo, si la suma de dichos números es 40.
Sean x e y los números buscados. El problema aresolver es el siguiente:
 x  y  40
 2
 x y máximo
Llamamos p  x 2 y . Como x  y  40 se tiene que y  40  x y por tanto:
p  x 2 40  x   40 x 2  x 3
Vamos a maximizar la función p x  :
p '  x   80 x  3 x 2

x  0

p '  x   0  80 x  3 x 2  0  x  80  3 x   0  
80
80  3 x  0  x  3

p ' '  x   80  6 x
p ' ' 0   80  0  x  0 es un mínimo (nonos interesa)
80
 80 
p' '    80  0  x 
es un máximo
3
 3
Los números buscados son:
80

x  3


 y  40  80  40

3
3


1
Cipri

Optimización de funciones

3.- Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de 3 600 m2 de superficie, para
poderlo cercar con una valla de longitud mínima.
Por la fórmula del área del rectángulo se tiene:
xy  3600Por otro lado, la superficie que tenemos que vallar
es 2 x  2 y
Así, el problema a resolver es:
 xy  3600

2 x  2 y mínima

y

3600m2

x
Como xy  3600  y 

3600
x

3600
obtenemos:
x
3600 2 x 2  7200

f x   2 x  2
x
x

Llamando f  2 x  2 y y sustituyendo y 

Vamos a minimizar f:
4 x 2  2 x 2  7200 2 x 2  7200
f ' x  

x2
x2
f '  x   0  2x 2  7200  0  x  60
14400
f ' ' x  
x3
f ' '  60   0  x  60 es un máximo (no nos interesa)
f ' ' 60   0  x  60 es un mínimo
Por tanto, las dimensiones del campo son:
 x  60 m

3600

 y  60  60 m

(es decir, se trata de un cuadrado)
4.- Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una
circunferencia de radio 5 cm.
A  xymáxima
r  5 cm
Por el teorema de Pitágoras:
x 2  y 2  10 2
m
y
0c
1
y de donde

x

x

y  100  x 2

La función a maximizar es: f  x   x 100  x 2







f  x   x 100  x 2  x 2 100  x 2  100 x 2  x 4  100 x 2  x 4



1
f '  x   100 x 2  x 4
2

 200 x  4 x  


1
2

3



1
2

200 x  4 x 3
2  100 x 2  x 4

2
Departamentode Matemáticas

x  0
f '  x   0  200 x  4 x 3  0  x 200  4 x 2  0  
2
200  4 x  0  x   50





El único posible extremo que nos interesa es x  50
100  2 x 2
f ' x  
100  x 2
x
 4 x 100  x 2  100  2 x 2 
2
 4 x 100  x 2  100  2 x 2 x
100  x 2


f ' ' x  
2
100  x 2  100  x 2
100  x 2
 300 x  2 x 3

100  x 2  100 x 2









 

f ' ' 50  0  x  50 es un máximo
Calculamos el valor de y:
y  100 

 50 

2

 50

Por tanto, las dimensiones del rectángulo para que el área sea máxima son:
 x  50 cm


 y  50 cm

esto es, se trata de un cuadrado.
5.- Con 1 m2 de cartón cómo construirías una caja del mayor volumen posible.

1 2x

Teniendo en cuenta el dibujo,tenemos que maximizar la
función
2
v x   1  2 x  x  4 x 3  4 x 2  x
Calculamos las derivadas:
v' x   12 x 2  8 x  1
v'  x   0  12 x  8 x  1  0  x 
2

x
x

8

 82  4  12  1
2  12

 8  4 12 1


8  16 8  4  24

24 2



24
24
8  4  4  1
 24
24 6


v' '  x   24 x  8
1
1
v' '    12  8  0  x  es un...