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TEOREMA DE ROLLE
Sea f definida en [a,b], verificando:
1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2. f es derivable en elintervalo abierto (a,b).
3. f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) donde 
En estas condiciones existe al menos un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) en elque se anula la derivada primera: f´(x0) = 0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal.
Ejercicios
1 Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condicionesdel teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalosabiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.







2 ¿Satisface la función f(x) = 1 − x lascondiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.
No cumple teorema de Rolle porquef(−1) ≠ f(1).

3 Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.
Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:
f(x1) = f(x2) = 0
Y como lafunción es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c  (x1, x2) tal que f' (c) = 0.
f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x+ 6x2).
Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discriminante es negativo:
Δ = 9 − 24 < 0.
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle,por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.










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En cálculo, la diferencial representa la parte principal del cambio en una función y...