Principio de ecuaciones diferenctial

GUIA 1

Ecuaciones diferenciales, conceptos b´sicos y aplicaciones a
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramienta b´sica en las ciencias a y las ingenier´ para el estudio de sistemas din´micos (sistemas cuyos estados var´ ıas a ıan con el tiempo). Ejemplos de sistemas din´micos son el sistema solar, un sistema a ecol´gico, una econom´ un mecanismo artificial (reloj, veh´ o ıa,ıculo, circuito, etc). En esta gu´ consideramos: ıa Las ecuaciones diferenciales ordinarias como modelos matem´ticos de sistemas a din´micos. a El concepto de ecuaci´n diferencial ordinaria y de soluci´n. o o

1.

Una ecuaci´n diferencial como descripci´n de o o un sistema din´mico a

En esta gu´ se considerar´n sistemas din´micos cuyos estados se pueden desıa a a cribir mediante una cantidadescalar que depende de una variable independiente, usualmente el tiempo.

1.1.

Modelo de Malthus (crecimiento exponencial)

Como ilustraci´n estudiaremos un modelo de crecimiento de poblaciones aisladas: o Los organismos viven en grupos llamados poblaciones. Una caracter´ ıstica b´sica de a ellas es su tama˜o (estado del sistema), medido por el n´mero total de individuos o n u por ladensidad. En una poblaci´n aislada, la variaci´n del tama˜o es debida fundao o n mentalmente a los procesos de nacimiento y muerte. Para efectos de modelamiento se considerar´n las siguientes variables: a el tama˜o x = x(t) de la poblaci´n en el tiempo t, n o la tasa relativa de crecimiento
1 dx x(t) dt

de la poblaci´n en el tiempo t. o

Los ec´logos han planteado distintos modelos para predecir laevoluci´n del tama˜o o o n de la poblaci´n en el tiempo. Estos modelos se basan en supuestos que establecen o relaciones entre la tasa relativa de crecimiento de la poblaci´n y su tama˜o. Dichos o n supuestos se han verificado experimentalmente en algunas situaciones concretas. Estudiaremos ahora uno de los modelos m´s conocidos, denominado modelo de Malthus a en honor al economista Thomas RobertMalthus (1766-1834), quien lo plante´ por o primera vez en su influyente trabajo Primer ensayo sobre poblaci´n. o 1

Este modelo supone que la tasa relativa de crecimiento de la poblaci´n es conso tante, es decir, que 1 dx = a, a constante, x(t) dt o equivalentemente que dx = a x(t). (1) dt Escrito en esa forma el modelo de Malthus es un ejemplo de una ecuaci´n diferencial. o Es sencillocalcular explicitamente las soluciones de (1). En efecto, si x = x(t) es soluci´n de (1) con x(t) = 0 entonces o 1 dx = a. x(t) dt Integrando resulta ln |x(t)| = at+c1 , para alguna constante c1 . Exponenciando ambos lados esta ultima ecuaci´n se obtiene o x(t) = c ea t , −∞ < t < ∞, con c = ec 1 . (2)

Rec´ ıprocamente se verifica que x(t) = c eat para −∞ < t < ∞, c constante real, es una familia desoluciones de (1). Finalmente, si x = x(t) satisface la condici´n o a t0 x(t0 ) = x0 para valores de t0 y x0 especificados, entonces x0 = c e . Por lo tanto c = x0 e−a t0 , y se tiene x(t) = x0 ea (t−t0 ) , −∞ < t < ∞.

Observaci´n. Cuando a > 0 se dice que (1) modela un crecimiento exponencial. o o An´logamente se habla de declinaci´n exponencial cuando a < 0. a

1.2.

Movimiento rectil´ ıneoen un medio resistivo

Ahora estudiaremos el problema de determinar la velocidad de un cuerpo que cae cerca de la superficie terrestre. Galileo Galilei (1546-1642) mostr´ experimentalmente o que la aceleraci´n de un cuerpo que cae en el vac´ cerca de la superficie de la tierra o ıo es constante. Teniendo en cuenta que la aceleraci´n es la raz´n de cambio de la o o velocidad con respecto al tiempo,y considerando como positiva la direcci´n hacia o arriba, el descubrimiento de Galileo en notaci´n moderna puede escribirse como: o dv = −g, dt (Ley de Galileo de ca´ libre), ıda (3)

donde v representa la velocidad del cuerpo y g es una constante, que en el sistema MKS toma el valor aproximado de g ≈ 9,8 m/s2 . Si en el instante t0 la velocidad es 2

v0 , entonces mediante integraci´n se...