Principio De Trabajos Virtuales

Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Chile

6. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
(Cuerpo rígido - Desplazamiento virtual)

Otoño 2012

Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Chile

Trabajo de una fuerza y de un momento

• Si el punto de aplicación de una fuerza P experimenta un desplazamiento δP en la
dirección de la fuerza, el trabajo realizado por la fuerzaes: WP = P·δP

• En

forma análoga, si el punto donde se aplica un momento M experimenta una

rotación δθM en torno de un eje que pasa por el punto y el cual es colineal con la dirección del momento, el trabajo realizado por este momento es: WM = M·δθM

• Por ser una cantidad escalar, el trabajo tiene signo y magnitud. Así el resultado de
la expresiones anteriores puede ser positivo,nulo o negativo.

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• En general, el trabajo que realiza una fuerza que actúa en un punto de un cuerpo está
dado por el producto punto o escalar entre la fuerza y el desplazamiento que experimenta el punto.

r r δWP = F • Δs = F ⋅ Δs ⋅ cos(α ) = F cos(α ) ⋅ Δs

Δθ

δWM

r r = M • Δθ = M ⋅ Δ θ

Δθ: ángulo que gira elcuerpo, expresado en radianes.

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Principio de los trabajos virtuales para un cuerpo rígido “El trabajo realizado por un cuerpo rígido sometido a un Sistema de Fuerzas real en equilibrio es igual a cero cuando se somete a un Sistema de Desplazamiento virtual arbitrario pequeño y compatible con los vínculos delsistema.”(Principio de los desplazamientos virtuales).
Demostración: Si al sistema de fuerzas que actúa sobre el cuerpo rígido se le impone un desplazamiento arbitrario δs en la dirección de su resultante Pr, el trabajo realizado por cualquier fuerza Pi está dado por:

(Pi cos α i ) ⋅ δs = Pi ⋅ (δs cos α i ) = Pi ⋅ δsi
donde: δsi es el desplazamiento en la dirección de Pi como resultado de δs.
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El trabajo realizado por todas las fuerzas Pi del sistema está dado por:

∑ (P ⋅ δsi ) = ∑ [P ⋅ (δs ⋅ cos(θ ))]
i =1 i i =1 i i

n

n

⎤ ⎡n = ⎢∑ [Pi ⋅ (cos(θ i ) )]⎥ ⋅ δs ⎦ ⎣ i =1

∑ (P ⋅ δs )
i =1 i i

i=n

= Pr ⋅ δs

= trabajo virtual de la resultante

Considerando que Pr es igual a cero cuando el sistema defuerzas (P1, ..., Pi, ..... Pn) está en equilibrio, se cumple:

∑ (Pi ⋅ δsi ) = 0
i =1

n

Ec. 1

La ecuación 1 es la expresión matemática del Principio del Desplazamiento Virtual en un cuerpo rígido.
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Comentarios: 1) La aplicación del principio considerando un sistema de desplazamiento virtual (arbitrario pero compatiblecon los vínculos del sistema), permite obtener la misma información que se consigue al aplicar las Ecuaciones de Equilibrio. 2) Considerando que no hay ninguna restricción con respecto al desplazamiento virtual impuesto, éste puede ser de cualquier magnitud (infinitesimal o finito). 3) Para aplicar el Principio de los Desplazamientos Virtuales a un cuerpo rígido, basta con conocer el estado dedesplazamientos virtuales (δi) en función de una de sus componentes. Esta componente se cancela al introducirla en la Ecuación 1, quedando expresada esta ecuación en función de las componentes del sistema de fuerzas y de la geometría del cuerpo rígido. 4) El uso de este principio es útil para determinar: (a) las reacciones de los apoyos externos, (b) los esfuerzos internos (M, Q, N) y (c) laslíneas de influencia de sistemas estáticamente determinados.

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5) El método es atractivo aplicarlo en la medida que existan relaciones geométricas simples entre los desplazamientos virtuales involucrados en la solución de un problema dado. Cuando no es así, es recomendable usar el Método Directo (Ecuaciones de equilibrio...