PROBABILIDAD 2

Probabilidad
Ernesto Mordecki
8 de junio de 2007

´Indice
1. Experimentos aleatorios

2

2. Sucesos

2

3. Probabilidad

3

4. Probabilidad y Permutaciones

5

5. Probabilidad y Combinaciones

8

6. Operaciones con sucesos

9

7. Regla de la suma

12

8. Propiedades de la probabilidad

13

9. Probabilidad condicional

15

10.F´
ormula de la probabilidad total

16

11.F´
ormula de Bayes

1812.Sucesos independientes

20

13.Paseo al azar y triangulo de Pascal

23

14.Ley de los grandes n´
umeros

25

15.Bibliograf´ıa

29

1

1.

Experimentos aleatorios

Las probabilidades aparecen asociadas a los fen´omenos aleatorios. Un
fen´
omeno aleatorio es aquel en el cual la verificaci´on de un cierto conjunto de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de
resultadosposibles. Llamamos experimento aleatorio a ese conjunto de condiciones determinadas. Por contraposici´on, los fen´
omenos determ´ısticos, o
no aleatorios son aquellos en los que la verificaci´on de un cierto conjunto de
condiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado fijo.
Como ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara que presenta al
caer al piso es un experimentoaleatorio (tenemos dos resultados posibles:
cara y n´
umero); mientras que enfriar agua hasta cero grados cent´ıgrados
bajo presion atmosf´erica normal es un fen´omeno determin´ıstico (conduce
inequ´ıvocamente a la formaci´on de hielo).

2.

Sucesos

Consideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra
griega may´
uscula Ω (Omega) el conjunto de todos sus resultados posibles.
Llamamosa este conjunto Ω espacio de sucesos elementales, y a sus puntos
sucesos elementales o tambi´en casos posibles. Suponemos que Ω es un conjunto finito y utilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos.
Ejemplo 1. Si tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatorio
con
Ω = {cara, n´
umero},
y resulta n = 2.
Ejemplo 2. Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles,
Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
y en este caso n = 6.
Ejemplo 3. Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos
posibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que
podemos representar en la siguiente tabla:

2

(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)

(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)

(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)

(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)(6, 4)

(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)

(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)

donde, por ejemplo, el caso (3, 4) representa el resultado correspondiente a
obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda.
Llamamos suceso a cada subconjunto de Ω. Designamos a los sucesos
mediante las letras A, B, C, . . . con sub´ındices o sin ellos. Los sucesos pueden
tener uno o varioselementos, y tambi´en ning´
un elemento. En este u
´ltimo
caso tenemos el suceso imposible, que designamos mediante ∅. En el ejemplo
3, el conjunto
A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
es un suceso, y corresponde a obtener un as en la primer tirada del dado.
Los puntos que componen un suceso se llaman casos favorables para la
ocurrencia de dicho suceso.
El surgimiento de la teor´ıa dela probabilidad es muy anterior a la creaci´
on de la teor´ıa de conjuntos. Por esto, desde su mismo inicio, en teor´ıa de la
probabilidad se utiliz´o (y contin´
ua utiliz´andose) una terminolog´ıa espec´ıfica,
diferente de la terminolog´ıa utilizada en teor´ıa de conjuntos. En la p´agina
11 se presenta una tabla de t´erminos de teor´ıa de conjuntos, junto con los
correspondientes t´erminos delc´alculo de probabilidades, que introducimos
y utilizamos a lo largo de este curso. Las letras A, B, C, . . . , con ´ındices o
sin ellos, designan a los sucesos, es decir, a los subconjuntos de Ω.

3.

Probabilidad

Definici´
on 1. Dado un experimento aleatorio con un espacio de n sucesos
elementales Ω, la probabilidad del suceso A, que designamos mediante P(A),
es la raz´
on entre la cantidad de...