Probabilidad Condicional
Páginas: 3 (583 palabras)
Publicado: 26 de julio de 2012
4.10 Probabilidad condicionada e independencia de sucesos
Sea $B\subset E$ un suceso aleatorio de probabilidad no nula, ${{\cal P}}[B]>0$. Para cualquier otro suceso $A\subset E$, llamamosprobabilidad condicionada de A a B a la cantidad que representamos mediante ${{\cal P}}[A_{\mid B}]$ o bien ${{\cal P}}_B[A]$ y que se calcula como:
\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle{{\cal P}}[A_{\mid B}] = \frac{{{\cal P}}[A{\cap}B]}{{{\cal P}}[B]} $ } } } \end{displaymath}
4.10.0.1 Ejemplo
Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos queel resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado esta probabilidad?
Solución:
El espacio muestral que corresponde a este experimento es
\begin{displaymath}E=\{1,2,3,4,5,6\}\end{displaymath}
y se ha de calcular la probabilidad del suceso $A=\{4\}$. Si el dado no está trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad deLaplace,
\begin{eqnarray}\html{eqn15}{{\cal P}}[A]&=&\frac{\mbox{ casos favorables }}{\mb... ...de elementos en } \{1,2,3,4,5,6\} } \nonumber \\ &=& \frac{1}{6} \end{eqnarray}
Obsérvese que paracalcular la probabilidad de A según la definición de Laplace hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir:\begin{displaymath}{{\cal P}}[1]={{\cal P}}[2]={{\cal P}}[3]={{\cal P}}[4]={{\cal P}}[5]={{\cal P}}[6] \end{displaymath}
Por otro lado, si ha salido un número par, de nuevo por la definición deprobabilidad de Laplace tendríamos
\begin{eqnarray}\html{eqn16}{{\cal P}}_{\mbox{par}}[4] &=&\frac{\mbox{ casos fav... ...elementos en }\{2,4,6\} } \nonumber \\ &=& \frac{1}{3} \nonumber \end{eqnarray}Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la probabilidad condicionada, ya que si escribimos
\begin{eqnarray}\html{eqn16}A=\{4\} \qquad&\Rightarrow&\qquad...
Sea $B\subset E$ un suceso aleatorio de probabilidad no nula, ${{\cal P}}[B]>0$. Para cualquier otro suceso $A\subset E$, llamamosprobabilidad condicionada de A a B a la cantidad que representamos mediante ${{\cal P}}[A_{\mid B}]$ o bien ${{\cal P}}_B[A]$ y que se calcula como:
\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle{{\cal P}}[A_{\mid B}] = \frac{{{\cal P}}[A{\cap}B]}{{{\cal P}}[B]} $ } } } \end{displaymath}
4.10.0.1 Ejemplo
Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos queel resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado esta probabilidad?
Solución:
El espacio muestral que corresponde a este experimento es
\begin{displaymath}E=\{1,2,3,4,5,6\}\end{displaymath}
y se ha de calcular la probabilidad del suceso $A=\{4\}$. Si el dado no está trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad deLaplace,
\begin{eqnarray}\html{eqn15}{{\cal P}}[A]&=&\frac{\mbox{ casos favorables }}{\mb... ...de elementos en } \{1,2,3,4,5,6\} } \nonumber \\ &=& \frac{1}{6} \end{eqnarray}
Obsérvese que paracalcular la probabilidad de A según la definición de Laplace hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir:\begin{displaymath}{{\cal P}}[1]={{\cal P}}[2]={{\cal P}}[3]={{\cal P}}[4]={{\cal P}}[5]={{\cal P}}[6] \end{displaymath}
Por otro lado, si ha salido un número par, de nuevo por la definición deprobabilidad de Laplace tendríamos
\begin{eqnarray}\html{eqn16}{{\cal P}}_{\mbox{par}}[4] &=&\frac{\mbox{ casos fav... ...elementos en }\{2,4,6\} } \nonumber \\ &=& \frac{1}{3} \nonumber \end{eqnarray}Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la probabilidad condicionada, ya que si escribimos
\begin{eqnarray}\html{eqn16}A=\{4\} \qquad&\Rightarrow&\qquad...
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