Probabilidad (En Catalán)

Probabilitats

1

Tema 2: Probabilitats


´ Index:
2.1 Conceptes b`sics. a 2.2 Probabilitat condicionada. 2.3 Variables aleat`ries. o 2.3.1. Variables aleat`ries discretes. o 2.3.2. Variables aleat`ries cont´ o ınues. 2.3.3. Esperan¸a i vari`ncia. c a 2.3.4. Independ`ncia de variables aleat`ries. e o

Probabilitats i Estad´ ıstica - 2011/12

Probabilitats

2

2.1 Conceptesb`sics a
Experiment aleatori: Fenomen f´ en el qual interv´ ısic e l’atzar: al repetir l’observaci´ del fenomen s’obtenen o resultats diferents. El resultat no es pot predir amb exactitud. Exemples: • Llan¸ar una moneda. Caracter´ c ıstica d’inter`s: el e resultat (cara o creu). • Llan¸ar un dau. Caracter´ c ıstica d’inter`s: la e puntuaci´. o • Escollir a l’atzar un individu d’una poblaci´. oCaracter´ ıstica d’inter`s: pes. e • No es un fenomen aleatori: deixar un got de vidre a l’aire a veure si cau o no. Sabem amb certesa que caur`: ´s un fenomen determinista. a e En canvi si que ´s un experiment aleatori e observar si el got es trenca o no i en quants trossos ho fa. Espai mostral, Ω: ´s el conjunt de resultats e possibles d’un experiment aleatori. A l’exemple del dau, Ω = {1, 2, 3, 4,5, 6}. Als trossos que es trenca el got: Ω = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Probabilitats i Estad´ ıstica - 2011/12

Probabilitats

3

Esdeveniment elemental: cadascun dels resultats possibles de l’experiment; ´s a dir, cada element de e l’espai mostral. A l’exemple del dau, “sortir un 1” ´s un e esdeveniment elemental. Esdeveniment: tot all` que es pot observat si ha o passat o no en realitzar unexperiment aleatori. Un esdeveniment ´s un subconjunt de Ω. e A l’exemple del dau, podem observar si “ha sortit un nombre parell” que ´s el subconjunt {2, 4, 6}, si “ha e sortit un nombre m´s gran que 4” que ´s el e e subconjunt {5, 6}, etc. Un cop identificats esdeveniments ≡ conjunts podem utilitzar el llenguatge i la notaci´ dels o conjunts per parlar d’esdeveniments. En particular, si A i B s´ndos esdeveniments, o aleshores a partir d’ells se’n defineixen altres utilitzant els operadors de la teoria de conjunts.

Probabilitats i Estad´ ıstica - 2011/12

Probabilitats

4

• La uni´ A ∪ B representa l’esdeveniment que o succeeix quan passa A o b´ passa B. e • La intersecci´ A ∩ B representa l’esdeveniment o que succeeix quan passa A i a la vegada passa B. • El complementari Acrepresenta l’esdeveniment que succeeix quan no passa A. • La difer`ncia B \ A = B ∩ Ac representa l’esdevee niment que succeeix quan passa B per` no A. o • L’espai mostral Ω representa un esdeveniment que sempre ocorre; ´s un esdeveniment segur. e • El conjunt buit, ∅, representa un esdeveniment que mai ocorre; ´s un esdeveniment impossible. e • Dos esdeveniments representats per conjunts ambintersecci´ buida (A ∩ B = ∅) s’anomenen o incompatibles. Aix` ´s del tot raonable perqu` oe e A ∩ B = ∅ vol dir que A i B alhora ´s impossible, e la qual cosa correspon perfectament al concepte d’incompatibilitat.

Probabilitats i Estad´ ıstica - 2011/12

Probabilitats

5

Exemple del dau: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considerem els esdeveniments A:“Sortir senar” i B:“Sortir m´s e petit que 4”.Aleshores, A B A∪B A∩B Ac Bc A\B A ∩ Ac = {1, 3, 5}, = {1, 2, 3}, = {1, 2, 3, 5}, = {1, 3}, = {2, 4, 6}, = {4, 5, 6}, = {5}, = ∅.

B \ A = {2},

Probabilitats i Estad´ ıstica - 2011/12

Probabilitats

6

El concepte de probabilitat s’introdueix per quantificar el grau d’incertesa dels esdeveniments quan interv´ l’atzar. e Es pot parlar de tres definicions o conceptes de probabilitat, quecorresponen a tres formes d’obtenir probabilitats d’esdeveniments. Els tres conceptes s´n v`lids, si es satisfan certes o a condicions d’aplicabilitat. Concepte cl`ssic de probabilitat a nombre de casos favorables a A P (A) = nombre de casos possibles Condicions d’aplicabilitat • Simetria o equi-probabilitat en el conjunt de casos possibles. • Nombre finit de casos possibles. EXEMPLE: en un dau...