Probabilidad

AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.

AXIOMAS.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesosdetermine consistentemente sus probabilidades.
Fueron formulados por Kolmogórov en 1993.

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas.

Axioma uno.

La probabilidad de queocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
 0   p(A)   1

Axioma dos.

La probabilidad de que ocurra el espacio muestral   debe de ser 1.
p () = 1
 

Axioma tres.

Si A y Bson eventos mutuamente excluyentes, entonces:
p(AB) = p(A) + p(B). 

Generalizando: si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces: p(A1A2.........An) =p(A1) + p(A2) + .......+ p(An).

TEOREMAS.
TEOREMA 1. 
Si   es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra   debe ser cero.
P () = 0
DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a un evento Acualquiera, como   y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A) = p(A) +p() = p(A). LQQD
 
TEOREMA 2.
La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p() = p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p() = 1, por tanto, p(Ac) = 1 - p(A).LQQD

TEOREMA 3. 
Si un evento A   B, entonces la p(A)   p(B).

DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B = A(B \ A) yp(B) = p(A) + p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)   0 entonces se cumple que p(A)   p(B). LQQD

TEOREMA 4. 
La p( A \ B ) = p(A) – p(AB)
DEMOSTRACIÓN: 
Si A y B son   dos eventos cualesquiera,entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A = (A \ B)   (AB), luego p(A) = p(A \ B) + p(AB), entonces:
p(A \ B) = p(A) – p(AB).   LQQD ...