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ÍNDICE

INTRODUCCION

DESARROLLO
Pág.
1.1 CONCEPTO DE INCREMENTO Y RAZON DE CAMBIO

2
1.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS

2
1.3 CONCEPTO DE DIFERENCIAL

2
1.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA

3
1.5 REGLA DE LA CADENA

3
1.6 FORMAS DE DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN

3
1.7 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR4
1.8 DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS

5
SÍNTESIS O RESUMEN

6
MAPA CONCEPTUAL

7
CONCLUSIONES

8
BIBLIOGRAFÍA
8

1.1CONCEPTO DE INCREMENTO, RAZON Y DE CAMBIO
Suponga que Y es una cantidad que depende de otra cantidad X por tanto Y es una función de X y escribimos Y=f(x) si X cambia de X1 a X2 entonces el cambio en X (también conocido comoincremento de x) es: ∆x= X2 + X1

Y el cambio correspondiente en Y es ∆Y=f( X2 ) - f( X1)-------------------------------(1)
El cociente de diferencias
∆y/(∆×)=(f( X2 )- f( X1))/(X2 - X1) -----------------------------------------------------------------------------------(2)
Se llama razón promedio de cambio de Y con respecto a X sobre el intervalo [×_1 ,×_2 ] y se puedeinterpretar como la pendiente de la recta secante. Por analogía con la velocidad consideramos la razón promedio de cambio sobre intervalos cada vez más pequeños haciendo que X2 tienda a X1 , por tanto al hacer que ∆x tienda a cero. (George B. Thomas, 1996, pag.154)
El límite de estas razones de cambio se llama razón instantánea de cambio de El límite de estas razones de cambio se llama razón instantáneade cambio de Y, y con respecto a X en X= 1 lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva Y= f(x) en P (X1, f(x1)):

Razón instantánea de cambio
lim┬(∆x→o)⁡〖∆y/∆x〗=lim┬(x_(2→x_1 ) )⁡〖(f(x_2)-f(x_1))/x_(2-x_1 ) 〗---------------------------------------------------(3)

1.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS
Una de las aplicaciones de la derivada es calcular la reglatangente a una curva de tal forma que exista un punto P tal que este solo toque en un solo punto a dicha curva que hará que exista dicho punto en la ecuación.
Observa el gráfico, en él está representada una función y=f(x) y hemos tomado dos puntos: P(xo,f(xo)) y Q(xo+h, f(xo+h))

La recta PQ es una recta secante a la curva cuya pendiente es: tg α=
Cuando h tiende a 0, o lo que es lo mismocuando Q tiende a P, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta tangente será:

En particular es importante recordar que cuando hablamos de la función f definida para todos los números reales x por:
f (x) = sin⁡x--------------------------------------------------------------------------------(4)
Se entiende que xsignifica el seno del ángulo cuya medida radiante es x. Se cumple una convención similar para las demás funciones trigonométricas. (STEWART, 2008)

1.3 CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones(Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta diferencia con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos el diferencial de la función en elpunto.
Diferencial es una magnitud finita para cada incremento Δx, y al mismo tiempo proporcional a Δx. La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a Δy, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento Δx que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e Δy será tan pequeña como...
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