probabilidad

TEMA 1
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

1.- Vectores posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Valores medios e instantáneos
Decimos que un cuerpo se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su posición,
referida al segundo cuerpo, cambia con el tiempo. Por el contrario, si la posición no cambia con el tiempo
decimos que se encuentra en reposo relativo. Tanto elmovimiento como el reposo son conceptos relativos pues
dependen del punto que se toma como referencia: un árbol o una casa se encuentran en reposo relativo con
respecto a la Tierra y en movimiento relativo con respecto al Sol. Por tanto, para describir un movimiento el
observador debe comenzar por definir un sistema de referencia con relación al cual estudia el movimiento.
Desde dos sistemas dereferencia en reposo relativo se observa el mismo movimiento; desde dos sistemas en
movimiento relativo se observan movimientos diferentes.
Definimos el vector posición de un móvil como el vector que une el origen del sistema de referencia con
la situación del móvil en cada instante. Se suele representar por y sus coordenadas, si usamos como referencia
un sistema cartesiano de coordenadas, porx, y, z.

r = xi + y j + zk

* x = x (t ) ,

y = y (t ) ,

z = z (t )

[3.1]

Definimos el desplazamiento como la variación que experimenta la posición de un móvil, es decir, como
el vector que une dos posiciones cualesquiera del móvil (Figura 1).

Es conveniente destacar que no es lo mismo desplazamiento que espacio: el desplazamiento es una magnitud vectorial y el
espacio escalar,y el módulo del vector desplazamiento no tiene
porqué coincidir con el espacio recorrido; sólo coinciden si la
trayectoria es rectilínea y el móvil no cambia su sentido de
movimiento (La trayectoria es la línea que une las sucesivas
posiciones que adopta el móvil, es decir, la línea que describen
los extremos del vector posición). Por ejemplo, si un móvil
describe una trayectoria circularde radio R y da una vuelta
completa, el desplazamiento total es nulo y el espacio recorrido
es 2BR.

Figura 1

Definimos velocidad media como la variación que experimenta la posición de un móvil en la unidad de
tiempo.

vm =

∆r
∆t

[3.3]

*

vm =

∆r
∆t

[3.4]

La velocidad media es una magnitud vectorial cuyo módulo es el módulo del desplazamiento dividido por
el tiempoempleado en realizarlo y cuya dirección y sentido son los del desplazamiento. (pues )t > 0).
El vector velocidad media suministra poca información acerca del movimiento (en el ejemplo del
movimiento circular, puesto anteriormente, la velocidad media sería cero) ya que si lo que deseamos es describir

perfectamente el movimiento, lo que necesitamos conocer es la velocidad del móvil en cadainstante. Por ello
definimos velocidad instantánea como el límite de la velocidad media, es decir, como la derivada de la posición
con respecto al tiempo.

v=

dr dx
dy
dz
=
i+
j+ k
dt dt
dt
dt
2
2
v = vx + v y + vz2

[3.5]

[3.6]

Sabemos, por lo visto en el tema anterior, que la dirección de es la de la recta tangente a la trayectoria
en el punto en el que se evalúa lavelocidad; su sentido es, evidentemente, el del movimiento. En cuanto a su
módulo, podemos escribir

v = lim

∆t → 0

∆r
∆t

En el límite, cuando el punto B tiende a confundirse con el A, el módulo del desplazamiento coincide con
la longitud del arco de trayectoria, es decir, con el espacio recorrido.

v = lim

∆t → 0

∆r
∆t

∆s ds
=
∆t → 0 ∆ t
dt

= lim

[3.7]

Definimosel vector unitario como el vector cuya dirección es la de la tangente a la trayectoria en cada
punto y cuyo sentido es el del movimiento: este vector, de módulo constante y dirección variable, marca, pues,
la dirección y el sentido de la velocidad instantánea, con lo que

v=

ds
τ = vτ
dt

[3.8]

Como, a su vez, el vector velocidad instantánea puede cambiar en el tiempo, introducimos...