probabilidad

PROBABBILIDAD Y ESTADISTICA
UNIDAD DE COMPETENCIA V
ESTIMACION
5.1 introducción
 se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de lamedia de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa mismacaracterística para una muestra de tamaño n.
Estimación y estimador
Decimos que hemos realizado una estimación cuando hemos asignado un valor, , al parámetro de la distribución. Como puede verse, resulta práctico designar la estimación del parámetro con su mismo símbolo, acompañado de una marca (una tilde, un acento circunflejo, un asterisco, etc.) para distinguir ambos entre sí.
Aunque existen diferentesmétodos para realizar una de estas asignaciones, suele ser conveniente utilizar la información proporcionada por la realización de la muestra. Una estimación sería entonces una aplicación que envía cada realización  de la muestra en un valor del parámetro, .
Nótese que utilizamos la misma notación, , para designar dos objetos diferentes, por un lado, la aplicación,
 tal que 
y, por otro, elresultado de esa aplicación para una realización concreta de la muestra, . De hecho, este símbolo se utiliza para designar otro objeto más, que se denomina estimador, o más en concreto, un estimador de . El estimador es la versión genérica de una estimación, esto es, la estimación que se obtendría para la propia muestra aleatoria simple. Un estimador no es, por tanto, un número, sino una función deuna variable aleatoria n-dimensional, , y por tanto, una variable aleatoria. En general, esta notación no resulta confusa, porque el contexto nos permite decidir si estamos hablando del estimador, de la estimación o de la propia función. Formalicemos los resultados:
Cualidades de un estimador
) Sesgo. Se dice que un estimador es insesgado si la Media de la distribución del estimador es igualal parámetro.
Estimadores insesgados son la Media muestral (estimador de la Media de la población) y la Varianza (estimador de la Varianza de la población):

Ejemplo
En una población de 500 puntuaciones cuya Media (m) es igual a 5.09 han hecho un muestreo aleatorio (número de muestras= 10000, tamaño de las muestras= 100) y hallan que la Media de las Medias muestrales es igual a 5.09, (la mediapoblacional y la media de las medias muestrales coinciden). En cambio, la Mediana de la población es igual a 5y la Media de las Medianas es igual a 5.1 esto es, hay diferencia ya que la Mediana es un estimador sesgado.
La Varianza es un estimador sesgado. Ejemplo: La Media de las Varianzas obtenidas con la Varianza

en un muestreo de 1000 muestras (n=25) en que la Varianza de la población esigual a 9.56 ha resultado igual a9.12, esto es, no coinciden. En cambio, al utilizar la Cuasivarianza

la Media de las Varianzas muestrales es igual a 9.5, esto es, coincide con la Varianza de la población ya que la Cuasivarianza es un estimador insesgado.
 
2) Consistencia. Un estimador es consistente si aproxima el valor del parámetro cuanto mayor es n (tamaño de la muestra).
Algunosestimadores consistentes son:

Ejemplo
En una población de 500 puntuaciones cuya Media (m) es igual a 4.9 han hecho tres muestreos aleatorios (número de muestras= 100) con los siguientes resultados:

vemos que el muestreo en que n=100 la Media de las Medias muestrales toma el mismo valor que la Media de la población.
 
3) Eficiencia. Diremos que un estimador es más eficiente que otro si la Varianzade la distribución muestral del estimador es menor a la del otro estimador. Cuanto menor es la eficiencia, menor es la confianza de que el estadístico obtenido en la muestra aproxime al parámetro poblacional.
Ejemplo
La Varianza de la distribución muestral de la Media en un muestreo aleatorio (número de muestras: 1000, n=25) ha resultado igual a 0.4. La Varianza de la distribución de...