Probabilidades

Ejercicios Resueltos de Estadística
Cálculo de Probabilidades

1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual es el
número mas probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.

SOLUCIÓN:
El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con distribución
binomial de parámetros B(20;0,6). El número masprobable de caras es
20 ⋅ 0,6 − 0,4 ≤ m ≤ 20 ⋅ 0,6 + 0,6 ⇒ 11,6 ≤ m ≤ 12,6 . Luego el número mas probable de
caras es 12, y la probabilidad de 12 caras es:

20!
 20 
P ( X = 12) =   ⋅ 0,612 ⋅ 0,4 8 =
⋅ 0,0022 ⋅ 0,0007 = 0,0202
12!⋅8!
 12 

( I B) = 0,6) y

2. Sabiendo que P A
probabilidad de A.

que la de la P(A

I B =0,2),

se pide calcular la

SOLUCIÓN:

P(A)= P[(A

IB)U ( AI B )]= P(A I B) + P( AI B )=0,6+0,2=0,8

3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son variables
aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del
70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?

SOLUCIÓN:
Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. Laprobabilidad de
que solo suba una de ellas será:
p1 (1 - p2) + (1 – p1) p2 = 0,7 0,3 + 0,3 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A;
que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad

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de su intersección es de 0,1. Se pide: 1) Calcular la probabilidadde A. 2) ¿Qué suceso es
más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.

SOLUCIÓN:

1) Sea P(A) = x; entonces: P(B)= 2X. Además P[A

U B] = 0,2 y P[A I B] = 0,1

P[A

U B] = P(A)+P(B)- P (AI B))=x+2x-0,1=3x-0,1

P[A

U B] = 3x – 0,1=0,2. despejando x=1

Por tanto P(A) = 0,1 y P(B) = 0,2.
2) Las probabilidades condicionadas serían:
P(A/B)=

P( AI B)
P( B)

=0,1
= 0,5;
0,2

P(B/A)=

P( AI B )
P( A)

=

0,1
=1
0,1

Por tanto es más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A sabiendo
que ha ocurrido B.

5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de que
al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las
monedas están bienconstruidas.

SOLUCIÓN:
Para que salga solo una cara ha de ocurrir una de las dos cosas siguientes: que la primera
moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:

P[(C I X ) U ( X I C )] = 0,4 ⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54

Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara y cruz son iguales a 0,5; por
tanto: P[(C I X ) U ( X

I C )] = 0,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5www.cienciamatematica.com

6. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A
produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:
1)
Probabilidad de que sea defectuosa.
2)
Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

SOLUCIÓN:
Indiquemos por: MA = {la pieza procede de la maquina A}
MB = {la piezaprocede de la maquina B}
Entonces

Ω = {300 piezas} = MA + MB

Ρ (Μ Α ) =
1)

1
3

Ρ (Μ Β ) =

2
3

Sea D = {la pieza defectuosa}

1
2
Ρ( D) = P ( D / M A ) ⋅ P( M A ) + P( D / M B ) ⋅ P( M B ) = (0,05) ⋅ + (0,06) ⋅ = 0,0567
3
3
2)

Es la probabilidad de MA condicionada a la presencia de D

1
(0,05) ⋅
P( D / M A ) ⋅ P( M A )
3 = 0,2941
P( M A / D) =
=
P( D / M A ) ⋅P( M A ) + P( D / M B ) ⋅ P( M B )
0,0567

7. Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra. La
primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de
que la segunda sea roja.

SOLUCIÓN:
Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer la
segunda, pueden ocurrir tres casos: que...