Probabilidades

Actividad # 9

Conferencia # 5
Variables aleatorias y funciones univariantes.

Sumario
• Variables aleatorias discretas y continuas
• Función de probabilidad. Propiedades
• Función de distribución acumulada. Propiedades
• Función de densidad probabilística. Propiedades.


Objetivos:
• Conocer cómo se define una variable aleatoria, los dos tipos de variables que existen y loselementos que las distinguen.
• Conocer las funciones univariantes asociadas a cada tipo de variable aleatoria, sus propiedades y cómo utilizarlas para el cálculo de probabilidades de eventos así como conocer cómo obtener estas funciones a partir de la información disponible.
• Conocer cómo obtener la función de distribución acumulada a partir de las funciones univariantes de las v.a y calcularprobabilidades a partir de ésta.


Bibliografía:
• Libro de texto, pág 51-63
Variables aleatorias discretas y continuas
En el tema 1 ya se había abordado el concepto de variable desde el punto de vista estadístico como una característica observable susceptible de adoptar diferentes valores y a partir del análisis de las escalas de medición se clasificaron en variables cualitativas ycuantitativas.
En este epígrafe se reiteran estos conceptos pero ahora con un enfoque probabilístico relacionándolos con los conceptos del tema 2, tales como espacio muestral, eventos, teniendo en cuenta que en la gran mayoría de los fenómenos vistos, los puntos muestrales se expresaban con números reales; tal es el caso del "Lanzamiento de un dado" cuyos puntos muestrales son: 1; 2.....6 .etc.
Variablealeatoria:
Para introducir el concepto de variable aleatoria relacionado con los conceptos del tema 2 se utilizará el ejemplo del lanzamiento de dos monedas representando sus puntos muestrales, escudo () y estrella (), por los símbolos señalados.




Observar que es posible referirse a esos mismos puntos muestrales, definiendo una variable X que “mida” la cantidad de estrellasque se obtienen al lanzar dos monedas
A cada punto muestral es posible asociarle un valor de la variable X:
 X tomaría el valor 0
 X " " " 1
 X " " " 1
 X " " " 2
y sobre la base de la variable X definida, que toma esos valores de manera aleatoria, puede expresarse elespacio muestral S como:
S={x  x=0,1,2}
Precisamente a esa X se le denomina "variable aleatoria" y se define como:
Definición:
Una variable aleatoria es una función que asocia un valor numérico real a cada resultado de un fenómeno aleatorio.
Observar como mediante la utilización del concepto de variable aleatoria se puede expresar de una manera más simple a los eventos:
*A: que al menos se obtenga una estrella _ A={X1}
* B: que exactamente se obtengan dos estrellas _ B={X=2}
* C: que a lo sumo se obtenga una estrella _ C= {X  1}
La representación de cualquier evento siempre vendrá dada por un conjunto de números reales y ello hará mucho más fácil las operaciones entre los mismos. Ejemplo:
A(X1) B(X=2) y entonces (A.B) (X=2); yaque 2 es el único número que tanto pertenece a A como a B
Aunque el concepto de variable aleatoria se ha explicado sobre la base de un fenómeno aleatorio cuyo espacio muestral es finito; este concepto también es válido para S infinitos, por ejemplo:
X: "Cantidad de personas que llegan a una cola en un tiempo t"
Sus posibles valores serían X =0,1, 2....(infinito numerable)
Y: "Tiempo detrabajo sin fallo de cierto equipo"
Sus posibles valores Y  0 (infinito no numerable)
De los ejemplos podemos distinguir dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas.
Variable Aleatoria Discreta: Aquella que toma determinados valores; toma valores aislados, a saltos.
Ejemplos de este tipo de variable aleatoria son las variables definidas “cantidad de estrellas obtenidas al...