Probabilidades

Probabilidades

1. Probabilidades
1.1 Definición
El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en
la comunicación entre las personas. Por ejemplo:
1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de
sobrevivir a una operación determinada.
2) Los alumnos de Cpech tienen un 95% de probabilidades
de ingresar a la universidad.

En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un
eventoque es incierto (sobrevivir a la operación, o ingresar
a la universidad), y ésta se expresa mediante un número
entre 0 y 1, o en porcentaje.

Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable
es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más
próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se
aproximará a “0”.
De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puede
ocurrir tendráprobabilidad cero y uno cuya probabilidad es
segura tendrá probabilidad uno.

Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que:

0  P(A)  1

1.2 Espacio muestral (E)
Es el conjunto formado por todos los resultados
posibles de un experimento.
Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un
conjunto “B” tiene “n” elementos, entonces existen
m·n elementos.

Ejemplo:
En el lanzamiento demonedas, la cantidad de resultados
posibles se determina por el principio multiplicativo:
1 moneda

2 posibilidades

2 monedas

2·2 = 4 posibilidades

3 monedas

2·2·2 = 8 posibilidades

n monedas

2·2·2·2···2= 2n posibilidades

1.3 Evento o Suceso
Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral,
asociado a un experimento aleatorio.

Ejemplo:
Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que lasdos
sean caras?

Solución:
El espacio muestral (E) corresponde a:
CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos)
El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces:
CC (1 elemento)

2. Probabilidad clásica
P(A) =

Casos favorables
Casos posibles

Ejemplo1:
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga
un número primo?

Solución:
El espacio muestral E, está dado por:
E={1, 2, 3,4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,
6 casos posibles.
Sea A, el evento o suceso:
A: que salga un número primo, entonces se tiene que:
A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos
favorables.

Por lo tanto:
Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)
Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5)
Entonces:

P(A) =

3
6

=

1
2

Ejemplo2:
Al lanzar 2 monedas, ¿cuál esla probabilidad de que las dos
sean caras?
Casos posibles: 4
Casos favorables (2 caras): 1
Entonces:

P(2 caras) = 1
4

3. Propiedades
3.1 Tipos de sucesos

Probabilidad de un suceso contrario (A):
La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad
de un suceso contrario”, se obtiene a través de:

P(A) = 1 - P(A)
E

A

A

Ejemplo:
Si La probabilidad de que llueva es
de que NO llueva?

2, ¿cuál es la probabilidad
5

Solución:
P(no llueva) = 1 - P(llueva)
P(no llueva) = 1 P(no llueva) =

3
5

2
5

Probabilidad de un suceso seguro:
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá:

P(A) = 1
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número natural al lanzar
un dado común es 1 (6 de 6).
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6)

P(natural) =

6
6

=1Probabilidad de un suceso imposible:
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:

P(A) = 0
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar
un dado común es 0 (0 de 6).
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 0

P(mayor que 6) = 0
6

=0

4. Probabilidad total
Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó
el suceso B, siendo éstos mutuamenteexcluyentes:

P(A B) = P(A) + P(B)
Ejemplo:
Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga
cara o sello?

Solución:

P(cara) = 1
2

P(sello) = 1
2

y

P(cara) ó P(sello) = P(cara)
= P(cara)
=
=1

1 +
2

U P(sello)
+ P(sello)
1
2

De no ser mutuamente excluyentes:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
U

Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un
número menor...