Problema De Aplicaci N

Docencia

La transformada de Laplace
como aplicaci´
on en la
resistencia de materiales
Agust´ın Pacheco C´ardenas∗
y
Javier Alejandro G´omez S´anchez∗∗
∗

Facultad de Ingenier´ıa, UAQ; Depto. Ciencias
B´asicas, ITQ
∗∗
Facultad de Ingenier´ıa, UAQ
agosto de 1998
resumen

Se aplican las t´ecnicas m´as elementales de transformadas de Laplace a la soluci´on de ecuaciones diferenciales no homogeneaspara
encontrar la ecuaci´on de la el´astica de una viga, as´ı como las ecuaciones del momento flexionante y la fuerza cortante en cualesquiera
puntos de ella.
Planteamiento del problema

Queremos determinar la ecuaci´on de la curva que adoptar´a el eje neutro de
una viga sometida a la acci´on de cargas externas a ella.
Ampliando el segmento ∆ mostrado en la figura 1, sea O el centro de
curvatura dela curva E C y ρ = O E el radio de curvatura (figura 2).
Sabemos que el radio de curvatura viene dado por la expresi´on

· • • • • •
· • · · · •
• • · · · ·

dy
1+
dx
ρ=
d2 y
dx2

2 3/2

(1)

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

FIGURA 1.

FIGURA 2.

y es la ecuaci´on de la el´astica.
En la figura 2 consideramos las hip´otesis que se establecen en los cursos de resistencia de materialespara este tipo de problemas: elasticidad,
homogeneidad, secci´on constante, etc´etera.
Tracemos D D paralelo a B B y E E paralelo a C C. Entonces los tri´angulos C CO y EE C son tri´angulos semejantes y, por lo tanto, sus lados
hom´
ologos son proporcionales. Podemos establecer la siguiente relaci´on:
EE
CC
=
;
CE
CO
como EE = δ, la deformaci´on que sufri´o la fibra situada a una profundidad
y deleje neutro,
CE = y,
tendremos:

C C = ∆s,

CO = ρ,

δ
∆s
=
.
y
ρ

De aqu´ı,
y
δ
= .
∆s
ρ
Si designamos (δ/∆s) =

(2)

a la deformaci´on unitaria, entonces
=

y
.
ρ

(3)

· • • • • ·
· • · · · •
• • · · · ·

´
´
´
A. PACHECO CARDENAS
Y J. A. GOMEZ
SANCHEZ

Por la ley de Hooke sabemos que σ = E , donde σ es el esfuerzo a que
est´
a sometida la fibra en cuesti´on y E el m´odulo de elasticidad delmaterial
de que est´a hecha la secci´on, el cual suponemos constante. Por lo tanto,
σ
y
= ;
E
ρ

σ=

E
y.
ρ

(4)

FIGURA 3.

FIGURA 4.

Cortemos ahora la viga en un punto x cualquiera (figura 3), y sean Mext
el momento producido por las fuerzas exteriores que act´
uan sobre la viga y
Mint el momento provocado por los esfuerzos internos en la viga. Si
Mint =

σy dA

(5)

y como se desea que la vigaest´e en equilibrio, entonces:
· • • • • •
· • · · • ·
• • · · · ·

Mint = Mext ;

i .e.,

M (x) =

σy dA.

(6)

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sustituyendo (4) en (6) se tiene:
M (x) =
Puesto que

E
y y dA =
ρ

E 2
y dA.
ρ

y 2 dA = I es el momento de inercia de la secci´on, entonces
M (x) =

EI
;
ρ

(7)

sustituyendo ρ de la ec. (1), tenemos:

M (x) =

EI
=
ρ

EI

d2 y
dx2

dy
1+dx

2 3/2

.

(8)

En la pr´actica, los valores de dy/dx son de magnitud muy peque˜
na y, sin
cometer un gran error, se puede considerar que (dy/dx)2 → 0. Por lo tanto,
la ec. (8) da el siguiente resultado:
d2 y
= M (x),
dx2
que llamaremos Primera ecuaci´
on diferencial de la el´
astica.
EI

FIGURA 5.

(9)

· • • • • •
· • · · • •
• • · · · ·

´
´
´
A. PACHECO CARDENAS
Y J. A. GOMEZ
SANCHEZHagamos las siguientes consideraciones: tomemos un segmento diferencial
de la viga (figura 5) y adoptemos la convenci´
on

Por la

F y = 0, tenemos que −w(x)(∆x) − V + V + (∆y) = 0, de donde
∆y
= w(x),
∆x

y de

(10)

M0 = 0 se tiene −M − V (∆x) − w(x)(∆x)(∆x/2) + M + ∆M . . .
∆M
∆x
= V + w(x)
;
∆x
2

(11)

tomando ∆x → 0 en las ecs. (10) y (11) se obtienen:

y

dM
= V (x)
dx

(12)

dV
= w(x),
dx

(13)y, de aqu´ı, integrando obtenemos las muy conocidas relaciones:
M (x) =

V (x) dx

y

V (x) =

w(x) dx,

las cuales establecen que:
• La suma de ´areas del diagrama de fuerzas cortantes es igual al momento flexionante.
• La suma de fuerzas externas es igual a la fuerza cortante.
Sustituyendo (12) y (13) en (9), se obtiene el siguiente resultado:

EI
· • • • • ·
· • · · • •
• • · · · ·

y

d3 y...