Problema del trigo y del tablero de ajedrez

Problema del trigo y del tablero de ajedrez
El problema puede ser resuelto mediante la realización de una relativamente simple suma, la cual es no obstante engorroso de hacer a mano. Debido a que en un tablero de ajedrez existen 64 (8x8) casilleros y asumiendo que el número de granos se duplica en cada casillero sucesivo, entonces la suma de granos sería 1 + 2 + 4 + 8... y así sucesivamente paracada uno de los 64 casilleros. Una vez hecha la cuenta pertinente, el número total de granos es de:

(un poco más de 18 trillones en la escala numérica larga), lo que es una cifra mucho más alta de lo que la mayoría de la gente esperaría de forma intuitiva.
Este problema puede ser usado para explicar el funcionamiento de los exponentes, además del muy rápido crecimiento que en general caracterizaa las series exponenciales y de las secuencias geométricas.
También se puede usar para explicar la notación matemática de la sigma mayúscula, la cual permite simplificar mediante la utilización del símbolo de la sumatoria la representación de este tipos de largas adiciones.
Cuando es expresada en términos de exponentes, la serie geométrica correspondiente es: 20 + 21 + 22  + 23... y asísucesivamente hasta 263
La base de cada exponenciación, el número natural 2, expresa que la duplicación de cada casillero, mientras que los exponentes representan la posición de cada casillero (cero para el primer casillero, 1 para el segundo, etc.)
Soluciones[editar]
La solución de fuerza bruta consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esa seriearitmética.

donde corresponde al número total de granos.
La serie puede ser expresada como exponentes:

y representarse en notación de sumatoria (sigma mayúscula) como:

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:

Una prueba de los cual es:

Multiplicar cada lado por 2:

Restar o sustraer la serie original de cada lado:

Resultando:

Cuanto trigo es[editar]
Para hacernos unaidea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 1200 granos de trigo, por lo tanto:
La estimación de producción de trigo para la cosecha 2013-2014 es de:

Por lo tanto, tomando esta estimación como cosecha anual, debería poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:

Por lo tanto serian necesarias las cosechas mundiales demás de veintiún mil seiscientos años para sumar esa cantidad de trigo.
Origen e historia[editar]
Artículo principal: Leyenda de Sisa
Las historias acerca de la invención del ajedrez varían. No obstante, todas ellas incorporan exactamente el mismo problema de progresión geométrica.
Y la fábula en cuestión, al margen de las distintas variantes que existen de la misma, siempre gira alrededor de losmismos lineamientos:
Cuando el creador del juego del ajedrez (en algunas historias un antiguo matemático de la India y en otras un drávida vellalar legendario llamado Sessa o Sissa) le mostró su invento el rey de un lejano país de Oriente, éste último estaba tan satisfecho que le dio al inventor el derecho de que él mismo decidiese cuál sería su recompensa por tal creación. El hombre, que era muysabio, le pidió al rey algo que de buenas a primeras aparentaba ser bastante humilde: que por el primer casillero del tablero de ajedrez, él debía recibir un grano de trigo (o de arroz en algunas variantes del cuento), dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez.
El rey, que no se caracterizaba por saber mucho de aritmética, rápidamente aceptó elpedido realizado por el inventor, incluso ofendiéndose debido a su errada percepción de que lo estaba pidiendo demasiado poco como contrapartida por haber inventado nada menos que el ajedrez, y le ordenó a su tesorero que contase los granos de trigo correspondientes y que se los entregase al inventor. No obstante en otra variante de la historia, el ofendido rey ordena que le entreguen un saco...