Problemas Cin

Cálculo Infinitesimal y Numérico IC – Ejercicios Bloque I

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Resolución de Ecuaciones–Interpolación-Polinomio de Taylor

CURSO 2011-2012

Nota: Los problemas tipo test que aparecen en esta relación se deben responder razonadamente. Como orientación, los resultados correctos aparecen marcados con una cruz. 1. Se pretende aproximar √ 3, usando que es una raíz de la ecuación x2 − 3 = 0. √ 1.Obtener un intervalo de longitud 1 que contenga a 3 como única raíz. 2. A partir de dicho intervalo, aproximar dicha raíz ejecutando tres iteraciones del Método de la Bisección: x1 , x2 , y x3 . Obtener, asimismo, los correspondientes errores a priori cometidos en cada iteración. 3. Calcular el número mínimo de iteraciones necesarias con dicho método para aproximar dicha raíz con 14 cifrasdecimales exactas (C.D.E). 2. Considérese la función f (x) = x + 4 sen(2 x). Responder razonadamente a las preguntas que se formulan en los siguientes apartados. 1. Se sabe que una raíz x de f (x) está separada en el intervalo [1.5, 2]. El número mínimo de ¯ iteraciones que el Método de la Bisección necesita para garantizar una aproximación a dicha raíz con 59 cifras decimales exactas es: X 195 198 190196

2. Al hacer dos iteraciones: x1 , x2 , del Método de Bisección en [1.5, 2] para aproximar dicha raíz x ¯ obtenemos: x2 = 1.375, y la raíz está en [1.5, x2 ]. x2 = 1.375, y la raíz está en [x2 , x1 ]. 3. Considérese la función f (x) = 2x3 − x2 − 10x + 5. Se pide: 1. Obtener (razonadamente) un intervalo conteniendo a todas las raíces reales de f (x) = 0. 2. La ecuación f (x) = 0 tiene unaúnica solución negativa x que se quiere aproximar por el Método ¯ de Newton-Raphson (ó abreviadamente de Newton). Dar un intervalo conteniendo a x, en el ¯ cual se verifique la Regla de Fourier, y elegir adecuadamente el punto inicial x0 . 3. Para el intervalo anterior, calcular una cota del error εn que se comete con el Método de Newton en la iteración n-ésima. 4. A partir del anterior punto inicialx0 , ejecutar dos iteraciones del Método de Newton, junto con su correspondiente error (esto es: obtener x1 y ε1 , x2 y ε2 ). √ 4. Se quiere aproximar el valor de x = 7 127, sabiendo que es una raíz de la ecuación x7 − 127 = 0. ¯ √ 1. Demostrar que x = 7 127 es la única solución real de dicha ecuación. ¯ √ 2. Determinar un intervalo de amplitud 1 conteniendo a x = 7 127, y en el cual se verifique la¯ Regla de Fourier. Elegir adecuadamente el punto inicial x0 para aproximar x por el Método de ¯ Newton. 3. A partir de dicho valor x0 , calcular tres aproximaciones: x1 , x2 y x3 por el Método de Newton. 4. Acotar el error obtenido con la última aproximación x3 . Según dicha cota del error, ¿Cuántas C.D.E. tiene x3 ? 5. ¿Cuántas iteraciones como mínimo necesitaríamos con el Método de laBisección para aproximar la solución con tantas C.D.E. como en el apartado anterior? (utilizar el intervalo obtenido en el apartado 2). X x2 = 1.875, y la raíz está en [x1 , x2 ]. x2 = 1.875, y la raíz está en [x2 , 2].

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5. Se considera la ecuación 2x − ln x = 4. Se pide:

] 1 1 1. Demostrar que la ecuación tiene una única raíz real enel intervalo , . 100 10 2. Comprobar que en ese intervalo se verifican las hipótesis de la Regla de Fourier, eligiendo el valor inicial adecuado para asegurar la convergencia del Método de Newton-Raphson. 3. Obtener tres iteraciones del método de Newton con el valor inicial del apartado anterior, calculando una cota del error cometido al aproximar la raíz por la tercera iteración. ¿Cuántas C.D.E.presenta dicha iteración? 4. ¿Cuántas iteraciones como mínimo necesitaríamos con el Método de la Bisección para dar una aproximación con tantas C.D.E. como en el apartado anterior? (utilizar el intervalo del apartado 1).

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6. Dada la ecuación 1 − sen x = x (ó equivalentemente, sen x + x − 1 = 0), se pide: 1. Comprobar que tiene una única raíz real y positiva (se puede razonar gráficamente)....