Problemas cálculo

P:
L:
S:
AyM
Ejercicios de examen:
Tópicos a evaluar:
1. Formas indeterminadas de límites.
2. Integrales impropias
3. Sucesiones
4. Series positivas
5. Series alternantes
6. Operaciones con series
7. Series de potencia
8. Series de Taylor y Maclaurin. Polinom. de aproximación de T y M.
9. Cónicas.
10. Traslación y rotación de ejes.
11. Representación paramétrica de curvas en elplano.
12. Coordenadas polares.
13. Gráfica de ecuaciones polares
14. Cálculo en coordenadas polares.
15. Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar y vectorial.
Cálculo diferencia e integral de funciones con valores vectoriales.
16. Rectas, curvas y planos en el espacio tridimensional. Aplicación:
Movimiento curvilíneo.
17. Curvatura y componentes tangencial y normal de laaceleración.
18. Superficies y coordinas cilíndricas y esféricas.

1. Formas indeterminadas de límites.
1)- Demuestre que:
8x − 2x 1
= ln 2
x →0
4x
2

a)

lim

b)

1 ⎞x
⎛ 1⎞
⎛
lim ⎜1 + ⎟ = lim+ ⎜1 + −1 ⎟
x→+∞
x →+0 ⎝
x⎠
x ⎠
⎝

x

c)

Verifique que

( A y M., pag 224, ejer 31 )
1

(nlr)

⎛ n
⎞
lim ⎜ ∑ Ci xit ⎟
+
t →0
⎝ i =1
⎠

1

t

n

c
c
= x1c1 x22 ⋅ ⋅ ⋅ xn n = ∏ xici donde C1 , C2 ,..., Cn
i =1

n

son constantes positivas tales que

∑C
i =1

i

= 1 . (P(9), pag 433, ejer 46) )

2)- Calcule los siguientes limites.
e x (1 − e x )
x → 0 (1 + x ) ln(1 − x )

a)

lim

b)

1 ⎞
⎛
lim⎜ csc 2 ( x) − 2 ⎟
x→0
x ⎠
⎝

c)

lim(cos( x) )

d)

⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟
x → +∞
x⎠
⎝

e)

lim

(A y M., pag 225, ejer62 a) )
2

(P., pag 432, ejer 18) )

1

x→0

x→+∞

x

( A y M., pag 225, ejer 61 )

⎛1 1 1 1 ⎞
⎜ 2x + 4x ⎟
⎜2
2 ⎟
⎝
⎠

∫
lim

(P(9), pag 432, ej. 24)

2

x

f)

x2

x

(nlr)

1 + e −t dt

1

x →∞

(P(9), pag 432, ej. 39)

x
x

g)

∫ sen(t )dt
lim
+

1

(P(9), pag 432, ej. 40)

x −1

x→1

2. Integrales impropias
1)- Calcule:
+∞

a)∫ (e

−∞

x

dx
+ e− x )

( A y M., pag 388, ejer 18 )

π
2

b)

∫
0

cos( x)
dx
1 − sen( x)

( A y M., pag 387, ejer 6 )

2)- Calcule:
0

a)
b)

∫

dx ( A y M., pag 389, ejer 12 )
1 − x2
−1
+∞
dx
( P., pag 441, ejer 19 )
∫∞ x 2 + 2 x + 10
−
2

c)

x

∫

1

2

dx
x(ln x)

1

(P(9), pag 447, ej. 24)
5

3)- Demuestre utilizando elcriterio de comparación, si las siguientes
integrales convergen o no.
∞

a)

ln x

∫e

dx

(P(9), pag 447, ej. 42)

ln x
dx
x
3

(P(9), pag 447, ej. 43)

2x

1
∞

b)

∫

∞

4)- Demuestre que

1

∫x

p

dx diverge para todo número real p.

0

(P(9), pag 445, ej. 39)

3. Sucesiones
1)- Para cada una de las sucesiones:
∞

a)

⎧ (−1) n ⎫
⎬
⎨
⎩ n ⎭n =1c)

⎧
⎨n +
⎩

( A y M., pag 399, ejer 13 b) )

∞

2⎫
⎬
n ⎭ n=1

( A y M., pag 399, ejer 13 a) )

i)- Demuestre si es monótona.
ii)- Analice su convergencia o divergencia utilizando (exclusivamente) el
Teorema de la Sucesión Monótona. En caso de convergencia, halle su
límite.
2)- Demuestre usando la definición de limite que la sucesión ⎧an =
⎨
⎩

converge a 0.

∞

n⎫
⎬
2
n + 1⎭ n=1

(P, pag 454, ejer 46) )

3)- Para cada una de las sucesiones:
∞

a)

⎧ ln n ⎫
⎨
⎬
⎩ n ⎭ n=3

(A y M., pag 399, ejer 13 f) )

i)- Demuestre si es monótona.
ii)- Analice su convergencia o divergencia utilizando (exclusivamente) el
Teorema de la Sucesión Monótona. En caso de convergencia, halle su
límite.
4)- Analice la convergencia de la sucesión {nr n }n=1siendo r un número real
cualquiera. (S., pag 702, ejer 49(51))
∞

5)- Demuestre si es cierto, que siempre que 2 sucesiones {an } y

{bn } diverjan, entonces la sucesión {an + bn } también diverge.
(P, pag 454, ejer 51) )
6)- Dada la sucesión convergente {an }∞=1 definida como
n
a1 = 3 , an+1 = 3 + an . Calcule su límite.
(P, pag 454, ejer 39) )
7)- Dada la sucesión convergente {an...