El Problema Del Cálculo Del Área

El problema del cálculo del área

Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicacióninmediata en algunos problemas de física.

Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo.Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de física conocidas. Estudiar la relación que existe entre este resultado y el área encerrada por las rectas t = 0, t= 6, v = 0 y v = 3.
Solución:
El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un caso de MRU, por lo que deberemos usar la fórmula e = v*t que nos da el espacio recorrido porel cuerpo si conocemos su velocidad y el tiempo transcurrido t. Por lo tanto, para calcular el espacio recorrido por el cuerpo desde t = 0 hasta t = 6 hacemos e = 3*6 = 18, que coincide con el áreadel rectángulo coloreado, y que es al mismo tiempo el área encerrada por las rectas:
t = 0, t = 6, v = O y v = 3.
Hasta ahora hemos calculado el área encerrada por funciones continuas pero ¿quéharíamos para calcular el área encerrada bajo la función del dibujo 1 entre x = 1 y x = 4?,
¿es siempre posible descomponer la figura encerrada bajo una curva en figuras cuya área conocemos?
Parainvestigarlo, consideremos la gráfica velocidad-tiempo del dibujo 2, y calculemos el espacio recorrido entre t = 0 y t = 1. ¿Cómo calcularíamos, aproximadamente, el área encerrada bajo esta función entret = 0 y t = 1?. Acotaremos dicha área superior e inferiormente, utilizando rectángulos. ¿Cómo podríamos hacer que estas acotaciones fuesen cada vez más exactas?

Es intuitivo que el área encerradapor la función del dibujo 1 se calcula sumando las áreas de
los rectángulos que define la función entre dichos puntos. Este tipo de funciones cuya gráfica
en un intervalo son tramos de rectas...