problemas de estimacion de una o dos muestras

Problemas de Estimaci´n de una o dos muestras
o

1. Preliminares
Teorema del L´
ımite Central
¯
Si X es la media de una muestra aleatoria de tama˜o n tomada de una poblaci´n con media µ y
n
o
varianza finita σ 2 , entonces la forma l´
ımite de la distribuci´n de
o
Z=

¯
X −µ
√
σ/ n

conforme n → ∞, es la distribuci´n normal est´ndar n(z; 0, 1).
o
a
Teorema 8.3
Si se extraenal azar muestras independientes de tama˜o n1 y n2 de dos poblaciones, discretas o
n
2
2
continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2 , respectivamente, entonces la distribuci´n mueso
¯
¯
tral de las diferencias de las medias, X1 − X2 , est´ distribuci´n aproximadamente de forma normal
a
o

con media y varianza dadas por
2
µX1 −X2 = µ1 − µ2 y σX1 −X2 =
¯
¯
¯
¯

2
2
σ1 σ2+
n1 n2

De aqu´
ı
Z=

¯
¯
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
2
2
(σ1 /n1 ) + (σ2 /n2 )

es aproximadamente una variable normal est´ndar.
a
Teorema 8.4
Si S 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tama˜o n que se toma de una poblaci´n normal
n
o
que tiene la varianza σ 2 , entonces la estad´
ıstica
(n − 1)S 2
χ =
=
σ2

n

2

i=1

¯
(Xi − X)2
σ2

tiene unadistribuci´n ji cuadrada con v = n − 1 grados de libertad.
o
Teorema 8.5
Sea Z una variable aleatoria normal est´ndar y V una variable aleatoria ji cuadrada con v grados
a
de libertad. Si Z y V son independientes, entonces la distribuci´n de la variable aleatoria T , donde
o

1

Z

T =

V /v

est´ dada por
a
Γ[(v + 1)/2]
√
h(t) =
Γ(v/2) πv

t2
1+
v

−(v+1)/2

,

−∞ < t < ∞Esta se conoce como la distribuci´n t con v grados de libertad.
o

2. Introducci´n
o
La Teor´ de la inferencia estad´
ıa
ıstica consiste en aquellos m´todos en los que se realizan inferencias
e
o generalizaciones acerca de una poblaci´n. Se pueden dividir en dos ´reas pricipales estimaci´n y
o
a
o
pruebas de hip´tesis.
o

3. M´todos cl´sicos de estimaci´n
e
a
o
Definiciones:1.Un estimador es una regla que indica c´mo calcular el valor de una estimaci´n con base en las
o
o
mediciones que contiene una muestra.
2. Una estad´stica es cualquier cantidad cuyo valor se puede calcular a partir de los datos de una
ı
muestra
ˆ
Una estimaci´n puntual de alg´n par´metro de la poblaci´n θ es un solo valor θ de una estad´
o
u
a
o
ıstica
ˆ Por ejemplo, el valor x de laestad´
Θ.
¯
ıstica X, que se calcula a partir de la muestra de tama˜o n,
n
es una estimaci´n puntual del par´metro poblacional µ.
o
a
No se espera que un estimador realice la estimaci´n del par´metro poblacional sin error. Por ejemo
a
plo, una muestra que consistia en los valores 2, 5 y 11 de una poblaci´n cuya media es 4 pero
o
supuestamente se le desconoce. Estimar´
ıamos a µ como x= 6, con el uso de la media muestral1
¯
˜
o x = 5 con el uso de la mediana muestral2 . En este caso el estimador X produce una estimaci´n
´ ˜
o
¯
m´s cercana al verdadero par´metro que la del estimador X. Al no conocer el valor de µ debemos
a
a
¯ ´ ˜
decidir de antemano si se utiliza X o X como nuestro estimador.
ˆ
Definici´n: Se dice que una estad´
o
ıstica Θ es un estimadorinsesgado del par´metro θ si
a
ˆ
µΘ = E(Θ) = θ
ˆ
n
1

x=
¯
i=1

2

xi
n

x = x n+1 si n es impar ´ x =
˜
o˜
2

1
x n + x n+1
2
2
2

si n es par

2

Ejemplo 1 Muestre que S 2 es un estimador insesgado del par´metro σ 2 .
a
´
SOLUCION

Debemos probar que E(S 2 ) = σ 2
Observe
n

n

¯
(Xi − X)2 =
i=1

¯
[(Xi − µ) − (X − µ)]2
i=1
n

n

¯
(Xi − µ)2 −2(X − µ)

=
i=1
n

¯
(Xi − µ) + n(X − µ)2
i=1

¯
(Xi − µ)2 − n(X − µ)2

=
i=1

Ahora bien


n



¯
(Xi − X)2 

 i=1

= 1
E(S 2 ) = E 

 n−1
n−1


1
=
n−1

n

¯
E(Xi − µ)2 − nE(X − µ)2
i=1

n
2
2
σXi − nσX
¯
i=1

Sin embargo
2
2
σXi = σ 2 para i = 1, 2, ..., n y σX =
¯

σ2
n

Por tanto
E(S 2 ) =

1
n−1

nσ 2 − n

σ2...