Problemas de fisica resueltos

ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MAXIMA DE UN PROYECTIL
Un proyectil disparado desde el origen en t = 0 con una velocidad inicial V0. La altura máxima del
proyectil es h y su alcance horizontal es R. En el punto más alto de la trayectoria, la partícula tiene
coordenadas (R/2, Ymax).
Supóngase que un proyectil se lanza desde el origen en t = 0 con una componente VY positiva, hay
dos puntosespeciales que es interesante analizar:
El máximo que tiene coordenadas (R/2, Ymax) y el punto que tiene coordenadas (R,0). La distancia R
se conoce como alcance horizontal del proyectil y Ymax es su altura máxima.
Se encuentra Ymax y R en función de V0, ө, g.
Se puede determinar Ymax al observar que en la altura máxima VY = 0. En consecuencia, puede
usarse la ecuación 4.11 para determinar el tiempotmax necesario para llegar a la altura máxima.
0
Ecuación 4.11 VY = V0Y – g tmax pero : V0Y = V0 sen ө
0 = V0 sen ө – g tmax
Despejando el tiempo
g tmax = V0 sen ө
g tmax = V0 sen ө
g
sen 0 V
max t
θ
=
TVUELO = 2 tmax
V0Y
VX = V0X ө
VX = V0X
VX = V0X
g
sen 0 V
g
0 V
max t θ = = Y
V0
V0
V
V0Y
VY
VX = V0X
R = VX Tvuelo
ө
Distancia horizontal recorrida
( ) ( )
g 2
2sen 2
0 V
g 2
2
0y v
max Y
θ
= =
V0Y
VX = V0X
V0
ө
3
Al sustituir esta expresión para tMAX en la ecuación 4.13, se obtiene Ymax en función de V0, ө.
Componente de posición vertical
( ) 2
max t g
2
1 - max t 0Y V max Y =
pero:
g
sen 0 V
max t
θ
= 2 )
g
sen 0 V
( 2
max t
θ
= V0Y = V0 sen ө
Reemplazando
( ) 2
max t g
2
1 - max t 0Y V max Y =
( )
2
g
sen 0 V
g2
1 -
g
sen 0 V
sen 0 V max Y ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
θ θ
θ
( ) ( )
2 g
2 sen 2
0 V
g
2
1 -
g
sen 0 V
sen 0 V max Y
θ θ
θ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
( ) ( )
g 2
2 sen 2
0 V
-
g
sen 0 V
sen 0 V max Y
θ θ
θ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
( ) ( )
g 2
2 sen 2
0 V
-
g
2 sen 2
0 V
max Y
θ θ
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
=
( ) ( )
g 2
2 sen 2
0 V - 2 sen 2 0 V 2
max Yθ θ
=
( )
g 2
2 sen 2
0 V
max Y
θ
= con esta ecuación se halla la altura máxima que alcanza un cuerpo.
El alcance R, es la distancia horizontal recorrida en el doble de tiempo necesario para alcanzar la
altura máxima, es decir, en el tiempo 2t1. el tiempo que demora el cuerpo en el aire se le llama tiempo
de vuelo (tVUELO)
0
( ) 2
VUELO t g
2
1 - VUELO t 0Y V Y = pero: Y = 0
( ) 2VUELO t g
2
1 - 1 t 0Y V 0 =
( ) 2
VUELO t g
2
1 VUELO t 0Y V = Cancelando tVUELO
( ) VUELO t g
2
1 0Y V = despejando tVUELO
g
0Y V 2
VUELO t = pero: V0Y = V0 sen ө
g
sen 0 V 2
VUELO t
θ
= Se le denomina tiempo de vuelo del proyectil
El alcance R, es la distancia horizontal recorrida
R = VX tVUELO
4
Pero: VX = V0X = V0 cos ө
g
sen V 2
t 0
VUELO
θ
=
R = VX tVUELO
R =V0 cos ө tVUELO
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
g
sen V 2
cos V R 0
0
θ
θ
( )
g
2
0 V cos sen 2
R
θ θ
=
Pero: 2 sen ө cos ө = sen 2 ө
( )
g
2
0 V 2 sen
R
θ
= con esta ecuación se halla el alcance máximo horizontal
Ejemplo 4.5 Donde pone el ojo pone la bala. Pág. 81 del libro serway cuarta edición
En una conferencia demostrativa muy popular, un proyectil se dispara contra un blanco detal manera
que el primero sale del rifle al mismo tiempo que el blanco se deja caer en reposo, como muestra la
figura 4.9. Se demostrara que si el rifle esta inicialmente dirigido hacia el blanco estacionario, aun así
el proyectil hará diana.
FIGURA 4.9
Razonamiento y solución
Se puede argumentar que el choque resultara bajo las condiciones establecidas observando que
tanto el proyectil comoel blanco experimentan la misma aceleración aY = - g tan pronto como se
liberan. Primero observe en la figura 4.9 que la coordenada y inicial del blanco es XT tg ө y que
disminuye a lo largo de una distancia ½ g t2 en un tiempo t. En consecuencia, la coordenada y del
blanco como una función del tiempo es, según la ecuación 4.14.
θ tg T X y =
Ver figura 4.9
Y T Y tg T X y + = = θ Pero Y =...