Problemas de matrices resueltos

2

Matrices

1. Tipos de matrices
■ Piensa y calcula
Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 € en comida y 150 € en vestir; en febrero, 500 € en comida y 100 € en vestir; y en marzo, 300 € en comida y 200 € en vestir».
Solución:

Enero

Febrero

Marzo

Comida

400

500

300

Vestir

150

100

200

● Aplica la teoría
1.Escribe una matriz fila de dimensión 1 Ò 4

5. Halla el valor de a, b, c, d, e y f para que la siguiente matriz sea antisimétrica o hemisimétrica:

(

Solución:

a b
A= 5 d
0 –7

A = (1, – 5, 0, 7)

2. Escribe una matriz columna de dimensión 2 Ò 1
Solución:
a = d = f = 0,
b = –5, c = 0, e = 7

Solución:

( )
5
–9

3. Escribe una matriz cuadrada de orden 3, y marca la diagonalprincipal.
Solución:

(

7 2 –3
A = 4 –8 6
–1 5 9

(

0 –5
A= 5 0
0 –7

Solución:
O2 Ò 3 =

4. Completa la siguiente matriz para que sea simétrica:

(

Solución:

(

1 –2 3
A = –2 4 –5
3 5 0

94

)

)

6. Escribe una matriz nula de dimensión 2 Ò 3

)

1 –2 3
A = … 4 –5
… … 0

0
7
0

)

)

(

0
0

0
0

0
0

)

7. Escribe una matrizdiagonal de orden 2

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

A=

c
e
f

Solución:
A=

( )
7 0
0 –4

SOLUCIONARIO

8. Escribe una matriz escalar de orden 3 en la que el elemento a22 = – 6

Solución:
A=

(

–6 0 0
0 –6 0
0 0 –6

(

1
I3 Ò 3 = 0
0

0
1
0

)

0
0
1

) (

)

12. Dado el sistema lineal:
° 2x + 3y + z = 5
¢
£ 4x – 7y – z = 9
a) escribe lamatriz C de los coeficientes de las incógnitas. ¿De qué dimensión es?
b) escribe una matriz columna X con las incógnitas.
¿De qué dimensión es?
c) escribe una matriz columna B con los términos independientes. ¿De qué dimensión es?

)

10. Escribe una matriz triangular superior de orden 2 y su
traspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?

Solución:
a) C =

Solución:

( )

(

5 0 0
5 –7 6
A =–7 0 0 ò At = 0 0 1
6 1 –4
0 0 –4
t es una matriz triangular superior.
A

9. Escribe una matriz unidad de orden 3
Solución:

Solución:

(

2 –5
2
A=
ò At =
0 7
–5

0
7

)

(

)

2 3 1
es de dimensión 2 Ò 3
4 –7 –1

()

x
b) X = y es de dimensión 3 Ò 1
z

At es una matriz triangular inferior.

11. Escribe una matriz triangular inferior de orden 3 y su

c)B =

traspuesta. ¿Cómo es la traspuesta?

()

5
es de dimensión 2 Ò 1
9

2. Operaciones con matrices
■ Piensa y calcula
Halla mentalmente el producto escalar de los siguientes vectores: a) (3, 4)
Solución:
a) 15 + 24 = 39

()

()

5
3
; b) (2, – 3)
6
2

b) 6 – 6 = 0

● Aplica la teoría
13. Dadas las matrices:

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

A=
calcula:
a) A + B14. Sean las matrices:

( )

( )

1 –3
–7 8
y B=
4 5
–4 0

b) A – B

c) 5A

A=
d) 2A – 3B

Solución:

( )
( )

a) A + B =
c) 5A =

–6 5
0 5

5 – 15
20
25

TEMA 2. MATRICES

b) A – B =

(

8 – 11
8
5

d) 2A – 3B =

(

)

23 –30
20
10

(

( )

4 –3
2 –1 0
y B= 2 1
5 3 –4
0 –5

)

Calcula, de los siguientes productos, los que seanposibles, y de los que no sean posibles, razona por qué
no se pueden multiplicar:
a) A · B
b) B · A

)
95

Solución:
a) A2 Ò 3 · B3 Ò 2
Se pueden multiplicar porque el número de columnas de la 1ª coincide con el número de filas de la 2ª

(

6
A2 Ò 3 · B3 Ò 2 =
26

–7
8

)

–7 –13 12
B3 Ò 2 · A2 Ò 3 =
9
1 –4
– 25 – 15 20

15. Dadas las matrices: A =

)

2 –3
0 8
yB=
5 1
–4 7

calcula A · B y B · A. Del resultado obtenido, ¿qué propiedad muy elemental se ha probado que no se verifica?

(

12 – 5
– 4 47

)

B ·A =

(

1
2

2
4

a + 2c = 0°
§
b + 2d = 0§
a b
0 0
=
ò
ò
2a + 4c = 0¢
c d
0 0
§
§
2b + 4d = 0£

( )( ) ( )
1 2
2 4

(

a = –2c °
–2c –2d
ò B=
b = –2d ¢
c
d
£

40 8
27 19

)

La condición que...