Problemas Mate

Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Básica 1

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMAALA FACTULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE DE EXAMEN

CURSO: CODIGO DE CURSO: TIPO DE EXAMEN : NOMBRE AUXILIAR: FECHA DE EXAMEN: SEMESTRE: HORARIO DEL EXAMEN:

Matemática Básica 1 101 Primera Retrasada Kelinton Ottoniel Sic Cajbón Enero 13de 2011 Segundo Semestre 2010 8:00 AM

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Examen de primera retrasada Tema 1: (30 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones (a) (b)
sen x cos 2x  cos x sen 2x  0

h 

120 , 1  200e  0.2x

incógnita x

(c)

1  4x 

x 1

Tema 2: (15 puntos) Un atleta empieza a correr desdeel punto A, a una velocidad constante de 12 kilómetros por hora. Cinco minutos más tarde un segundo corredor sale del mismo punto a una velocidad de 15 kilómetros por hora. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero? Tema 3: (20 puntos) Se inscribe un cilindro circular recto dentro de un cono regular recto de 5 centímetros de radio y 20 centímetros de altura. (a) Exprese la altura delcilindro en términos de su radio. (b) Exprese el volumen del cilindro en términos de su radio. (c) ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro que tiene volumen igual a la mitad del volumen del cono? Tema 4: (15 puntos) Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene sus vértices en los puntos (-4,0) y (4,0), y que pasa por el punto (8,2). Dibuje su gráfica. Tema 5: (20 puntos) Un helicóptero vuelaa una altura de 1000 pies sobre una cumbre de 5210 pies de altura. Un segundo pico, más alto que la cumbre, se ve desde la primera montaña y desde el helicóptero. Desde la aeronave el ángulo de depresión es de 43° y desde la cumbre el ángulo de elevación es 18°. (a) Calcule la distancia de la cumbre al pico. (b) Calcule la altura del pico más alto.

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RESOLUCIÓN Tema 1: (30 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones (a) sen x cos 2x  cos x sen 2x  0 Utilizando las siguientes identidades trigonométricas: [1] [2] Sustituyendo [1] en la ecuación original [3] Factorizando [3] [ Sustituyendo [2] en [4] * ( )+ [5] ( ) ] [4]

Separando ecuaciones para encontrar las soluciones [6] y [7]

*(

)+

Para que las soluciones de la ecuación se procede a solucionar [6] y [7].  Debido a que el periodo del seno es de , se procede a buscar las ], al graficar el circulo soluciones de la ecuación en el intervalo de [ unitario se observa que las solución es ,

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Para generalizar lasolución se multiplica por un factor k, obteniendo como solución general :[ ]  ( ) despejando

Puesto que la función tiene un periodo igual a , primero se calcula las soluciones en este periodo, las cuales se obtiene realizando el círculo unitario

De lo anterior se obtiene como solución para generalizar la solución se suma el periodo de la función a cada una: Dividiendo en 2 y generalizandoLa segunda solución se obtiene de la misma forma.

Entonces las soluciones de la ecuación son: [ ] * + * +; [ ]

(b)

h 

120 , 1  200e  0.2x

incógnita x

( (

) )

(

)

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( ( ) (

) )

Al terminar de realizar el despeje de la variable x la respuesta es:

(c)

1  4x

x 1

Elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado (√ √ ) (√ )

Desarrollando el cuadrado √ √ √

√ √ √

Al operar la solución de la ecuación es:

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Tema 2: (15 puntos) Un atleta empieza a correr desde el punto A, a una velocidad constante de 12 kilómetros por hora. Cinco...