Problemas Matemática

DISTRIBUCION NORMAL:
Puesto que la densidad de probabilidad normal no puede integrarse en forma cerrada entre cada par de limites A Y B las probabilidades relacionadas con las Distribuciones Normales se obtienen usualmente de Tablasa Especiales.

DISTRIBUCION GAMMA:
Varias densidades de probabilidda importantes ,cuyas aplicaciones se explicaran mas adelante son casos especiales de ladistribucion gamma .Esta distribucion tiene la densidda de probabilidad

F(x)={



Donde (a) es un valor de la funsion gamma definida por
 a-1 e-x dx
(a)=0 X

La integracion por partes muestra que

(a)=(a-1)  (a-1)

para toda a> 1 y po ende , que (a) =(a-1) cuando a es un numero entero positivo
La media y la varianza de la distribucion gamma puedenobtenerse con el uso de la funcion gamma y sus propiedades especiales ya mencionadas .Para la media tenemos
 a-1 e-x/ dx
= 1/ (a)  x.x
0
y tras conceder que y =x/, obtenemos

=/(a)  y e-y dy =  (a+1)/ (a)0

Despues ,haciendo uso de la identitad (a+1)=a. (a) llegamos al resultado

Media de la Distribucion Gamma

= a

Usando metodos similares ,atmbien es posible demostrar que la varianza de la distribucion Gamma esta dada por

a2 = a2
En el caso especial en el que a=1, obtenemos la distribucion exponencial ,cuya densidad deprobabilidad es entonces

(x)=1/ e-x/ para x > 0 > 0
0

en otra parte

y cuya media y varinza son = y a2 = 2



LA DISTRIBUCION BETA:
(a+1)
 (x) = (a). () xa –1 (1-x) -1 para 00,a, >0
0
en otra parte
Para demostrar esta relacion ,evaluamos laprobabilidad de que una variable aleatoria con la distribucion de Weibull adopte un valor menor que a es decir la integral.

a
 ax -1 e-ax dx
0

Efectuado el cambio de variables y=x obtenemos
a
 ae-ay dy =1-e-aa
0

y como puede verse y es un valor de una variable aleatoria con una distribucion exponencial.
La media de la distribucion de Weibull con los parametros a y  puede obtenerseevaluando la integral
 -1
=  x.ax e-u du
0

y reconociendo las integral como (1+1/) es decir como un valor de la funcion Gamma
Encontramos que la media de la distribucion de Weibull esta dada por
=a-1/ (1+1/)

DISTRIBUCION EXPONENCIAL:
La distribucion exponencial tiene funcion de densidad
F(x)=xe- x x>= 0
=0



Media yVarianza de la Distribucion Exponencial

La media y la varianza de dist exp son
  
E(x) = x x e-xx dx=-xe -xx + e-xx dx =1/x
0 0 0

y

V(x) =  x2 e-xx dx –(1/x)2
0
 
=[ -x2 e-xx + 2  x e –xx dx] – (1/x)2 = 1/x 2
0 0

La desviacion estandar es 1/x y en consecuencia la media y la desviacionestandar son iguales

La funcion genera matriz de momento es

Mx(t)=(1-t/x)-1

Siempre que t< x

DISTRIBUCION DE LA QUE SE DEDUCE CLARAMENTE LO MISMO QUE SU HISTIGRAMA QUE LA DISTRIBUCION DE LAS MEDIAS ES EN F

BINOMIAL NEGATIVA:
La distribucion de probabilidad para una variable aleatoria se conoce como distribucion binomial negativa .La formula de esta distribucion .

Ladistribucion de probabilidda binomial negativa
La distribucion de probabilidad para una variable aleatoria binomial negativa esta dada por:
r y-1
P(y)=(y-1 Y R-1) P q (y=r,r+1,r+2...)

Donde p=probabilidda de éxito con una sola prueba de Bemoulli

q=1 –p
y=Numero de pruebas hasta que se observa el r-esimo éxito

La media y la varianza de una variable aleatoria bin.neg.son....