Problemas Mecanica Cuantica

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PROBLEMAS RESUELTOS DE NOCIONES DE MECANICA CUANTICA
1) Una partícula de 10 –6 kg se mueve en una caja unidimensional de 3 cm de longitud. Si esta partícula se
encuentra en un estado tal que su velocidad es 1 cm/s  0,5 % a) ¿Cuál es el correspondiente número
cuántico? ¿Qué conclusiones puede sacar de este resultado obtenido?- b) Halle la diferencia en energía entre
dos estados cuánticosconsecutivos tomando como uno de ellos el correspondiente al del número cuántico
hallado anteriormente, ¿qué conclusión puede sacar del resultado obtenido?
En este caso se tiene la situación de una partícula que se mueve en una caja unidimensional. Al no decir que está inmensa en
un campo de fuerzas o dar la expresión de la energía potencial dentro de la caja, se asume que se mueve libremente,sin
fuerzas que actúen sobre ella. Este caso es el más sencillo dentro de los sistemas estudiados en Mecánica Cuántica.
Al decir partícula libre en una caja unidimensional estamos haciendo unas cuantas suposiciones importantes, que son las
siguientes:
 Las paredes de la caja son infinitamente duras y altas
 La partícula no pierde energía cuando choca con esas paredes
 El movimiento estárestringido a lo largo del eje x, entre 0 y L (la partícula
rebota de un lado a otro entre las paredes de la caja)
 La energía potencial = ∞ para < 0 y >
 Dentro de la caja la energía potencial V es constante e igual a cero, V = 0
en 0 < x < L (no está sujeta a fuerzas)
 La partícula no puede existir fuera de la caja dado que no es posible que
tenga energía infinita, entonces Ψ ( ) = 0para ≤ 0 y ≥

+

La ecuación de Schrodinger para este sistema sería:

Ψ= 0

ℏ
La solución de esta ecuación es (se saca por comparación con la del MAS de la mecánica clásica) es:

2

Ψ( )=

ℏ

.

Aplicando las condiciones de contorno de que la función de onda vale cero en los puntos x = 0 y
ℏ
de donde

.

=0
ℏ

=

entonces

.

ℏ

con n = 1, 2, 3, 4, …

x = L setiene que

=

estos son los posibles valores de energía de la partícula;

el resultado importante es que la energía está cuantizada, no puede ser cualquier valor.
Esa energía es energía cinética de la partícula y como el dato es la velocidad de la misma, igualaremos esa expresión de las
energías a la energía cinética de la mecánica clásica. Hay que notar que la partícula es del mundomacroscópico y su
velocidad es muy baja (comparada a la de la luz). Entonces:
ℏ
=
=
despejando n se tendrá
=
.
=
ℏ

finalmente

=

;

=

.

.
,

,
.

.
.

,

≅ 9 . 10

El valor del número cuántico obtenido es muy grande; esto muestra que no sería posible distinguir la naturaleza cuantizada
de los niveles energéticos en este caso y esto es así porque hemos aplicado elrazonamiento de la mecánica cuántica a un
objeto de dimensiones enormes. En el mundo macroscópico no es válida la mecánica cuántica.
ℏ
b) La expresión de la energía de cada nivel está dada por:
=
=
.
La diferencia entre dos niveles consecutivos de números cuánticos n y n+1 será

2

−

=

ℎ
8

−

[( + 1) −

=

]=

ℎ
8

(

+ 2 +1−

(6,626. 10
.)
( 2.9. 10
8 . 10. (0,03 )

)=

ℎ
8

( 2 + 1)

+ 1) ≅ 1,1 .10

El valor de energía obtenido es tan pequeño que no puede ser detectado; significa que no pueden apreciarse como distintos
dos valores de energía de niveles consecutivos. Esto es así porque la mecánica cuántica no es aplicable a los objetos
macroscópicos.

2) a) Para un átomo con un electrón de valencia en el estado n = 3, ¿Cuál es elvalor de la energía de ese
electrón? - b) ¿Cuántos niveles energéticos en total aparecen al colocar el átomo en un campo magnético
externo?(no considerar la estructura fina)- H aga un cuadro que permita identificar a todos los niveles, según
l os números cuánticos.
La mecánica cuántica explica por medio de la noción de función de onda, cómo se acomodan los electrones en los átomos,
llenando...