problemas métricos

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PROBLEMAS MÉTRICOS

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REFLEXIONA Y RESUELVE
Diagonal de un ortoedro
■

Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes:
I) a = 2, b = 1, c = 2

II) a = 4, b = 12, c = 3

III) a = 7, b = 4, c = 5

I) √22 + 12 + 22 = √9 = 3
II) √42 + 122 + 32 = √169 = 13
III) √72 + 42 + 52 = √90 Ӎ 9,49

Distancia entre dos puntos
■

Halla la distancia de P(1, 3, 6) a Q(5, 5, 7).
8

PQ = √(5 – 1)2 + (5 – 3)2 + (7 – 6)2 = √42 + 22 + 12 = √21 Ӎ 4,58

Distancia de un punto a una recta
■

Siguiendo el proceso anterior, halla la distancia del punto P (8, 6, 12) a la recta r:
°x = 2
§
r: ¢ y = 1 – l
§
£ z = 7 + 2l
• Ecuación del plano π que contiene a P y es perpendicular a r :
0 · (x – 8) – 1 · (y – 6) + 2 · (z – 12) = 0; es decir, π: –y +2z – 18 = 0
• Punto, Q, de corte de r y π:
–(1 – l) + 2(7 + 2l) – 18 = 0
–1 + l + 14 + 4l – 18 = 0
5l – 5 = 0 8 l = 1
El punto es Q (2, 0, 9).
• Calculamos la distancia:
8

dist (P, r) = dist (P, Q) = | PQ | = |(–6, –6, –3)| = √36 + 36 + 9 = √81 = 9

Unidad 7. Problemas métricos

1

Distancia de un punto a un plano
■

Halla, paso a paso, la distancia del punto P (4, 35, 70) alplano π:
π: 5y + 12z – 1 = 0
P

Q

— Obtenemos el punto, Q, de intersección de r y π.

r

π

— Hallamos la ecuación de la recta, r, que pasa por
P y es perpendicular a π.

— La distancia de P a π es igual a la distancia entre
P y Q.

Para el punto y el plano dados:
• Recta, r, que pasa por P y es perpendicular a π:
°x=4
§
r : ¢ y = 35 + 5l
§
£ z = 70 + 12l
• Punto, Q, deintersección de r y π:
5(35 + 5l) + 12(70 + 12l) – 1 = 0
175 + 25l + 840 + 144l – 1 = 0
169l + 1 014 = 0 8 l = –6
El punto es Q (4, 5, –2).
• Calculamos la distancia:
8

dist (P, π) = dist (P, Q) = | PQ | = |(0, –30, –72)| = √900 + 5 184 = √6 084 = 78

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1. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (1, 0, 7) y es perpendicular al plano 5x – 3z + 4 = 0.
8

Elvector normal al plano, n(5, 0, – 3), es un vector dirección de la recta r que buscamos. Por tanto, las ecuaciones paramétricas son:
° x = 1 + 5l
§
r: ¢ y = 0
§
£ z = 7 – 3l
2. Halla la ecuación implícita del plano que pasa por (1, –3, 5) y es perpendicular
x–2 y+7 z
a la recta
=
= .
5
–6
1
Si el plano que buscamos, π, es perpendicular a la recta dada, un vector normal al
plano esel vector dirección de la recta: (5, – 6, 1). Por tanto, la ecuación de π es:
5 (x – 1) – 6 (y + 3) + 1 (z – 5) = 0 8 5x – 6y + z – 28 = 0

2

Unidad 7. Problemas métricos

UNIDAD

7

3. Halla la ecuación del plano paralelo a 5x – y + 4 = 0 que pasa por (1, 0, –3).
Si son paralelos, el vector normal es el mismo, (5, –1, 0). Por tanto, la ecuación del
plano que buscamos es:
5 (x – 1)– y + 0 (z + 3) = 0 8 5x – y – 5 = 0
4. Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por (5, –7, –2).
° x = 3 + 5l
§
r : ¢ y = –1 + 2l
§
£ z = 4 – 6l
Si el plano que buscamos, π, es perpendicular a r, un vector normal al plano es el
vector dirección de la recta: (5, 2, –6)
Por tanto, la ecuación de π es:
5 (x – 5) + 2 (y + 7) – 6 (z + 2) = 0 8 5x + 2y – 6z – 23 = 0Página 185
5. Halla la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s:
°x = 5 + l
§
r: ¢ y = –1
§
£ z = 8 + 2l
° x = 4 + 3l
§
s: ¢ y = 3 – l
§
£ z = 5 + 4l
El plano pasa por (5, –1, 8) y es paralelo a (1, 0, 2) y a (3, –1, 4). Un vector normal al
plano es:
(1, 0, 2) Ò (3, –1, 4) = (2, 2, –1)
La ecuación del plano es:
2(x – 5) + 2(y + 1) – 1(z – 8) = 0; es decir: 2x + 2y –z = 0
6. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a
P(0, –1, –3):
° 3x – 5y + 7z – 4 = 0
r: ¢
£ x – 2y + z + 1 = 0

r que pasa por

Un vector dirección de la recta es: (3, –5, 7) Ò (1, –2, 1) = (9, 4, –1)
° x = 9l
§
Las ecuaciones paramétricas son: ¢ y = –1 + 4l
§
£ z = –3 – l

Unidad 7. Problemas métricos

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1. Halla el ángulo entre las rectas r...