Problemes De Vectors Cinemàtica I Dinàmica

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE
CATALUNYA·BARCELONATECH
ESCOLA D’ENGINYERIA
DE TERRASSA

Problemes
de

Vectors, Cinemàtica i
Dinàmica
GRAUS EN ENGINYERIES INDUSTRIALS

DEPARTAMENT DE FÍSICA
CURS: 2015-2016

0. Vectors
0.1) Un vector té per components 𝑣⃗ = (3,4). Trobeu l’angle que forma amb l’eix OX.
Solució: 53,1º
0.2) Donats els punts A i B de coordenades cartesianes (5, 2, –3) i (0, –5, 4)respectivament, escriu
els vectors AB i BA.
Solució: (–5, –7, 7); (5, 7, –7).
0.3) Trobeu l’angle que formen els dos vectors 𝑣⃗ = (3,4) i 𝑢
⃗⃗ = (4,3).
Solució: 16,3º.
0.4) Donats els vectors 𝑎⃗ = (2, −3) i 𝑏⃗⃗ = (−1,2) i els escalars m = 2 i n = 3, realitzeu les
operacions següents: 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗, 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗, 𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗, 3𝑚𝑎⃗ − 2𝑛𝑏⃗⃗, 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗
Solució: 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = (1, −1),

𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = (3, −5),

𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗ =(1,0),

3𝑚𝑎⃗ − 2𝑛𝑏⃗⃗ = (18, −30),

𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗ = −8
0.5) Trobeu el producte escalar dels vectors 𝑎⃗ = (3,4) i 𝑏⃗⃗ = (−2,1).

Solució: 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗ = −2
0.6) Els vectors 𝑣⃗ i 𝑢
⃗⃗ tenen per mòduls 3 i 4 respectivament i formen un angle de 60º. Trobeu el seu
producte escalar.
Solució: 𝑣⃗ · 𝑢
⃗⃗ = 6
0.7) Donats els vectors

  

  






P1  2i  k , P2  4i  2k , P3  i  2 j  3k i P4  i j  k
Calculeu:
 
P1  P2 ,



 
 
 
P1  P3 , P2  P4 i P3  P4




















Solució: P1  P2  0 , P1  P3  2i  5 j  4k P2  P4  2 P3  P4  0
0.8) Determineu un vector unitari, perpendicular al pla format pels vectors







B  2i  2 j  4k i w  3i  3 j










Solució: u  1 , 1 ,  1 / 3  0,577i  0,577 j  0,577k , u és l’altra soluciópossible.

1

1. CINEMÀTICA
1.1) L’expressió de la velocitat d’un mòbil ve donada per la funció v(t)= 6t+2. Trobeu:
a) La velocitat inicial.
b) La velocitat quan t=3 s.
c) L’instant pel qual la velocitat val 26 m/s.
Solució: (a) v(0) = 2 m/s, (b) v(3) = 20 m/s, (c) t = 4 s.
1.2) L’equació del moviment d’un mòbil ve donada per la funció x(t )  3t 2  2t  1 . Trobeu:
a) La posició i la velocitatinicials.
b) La velocitat del mòbil quan la posició és x = 17 m.
c) La posició del mòbil quan la velocitat és v = 26 m/s.
Solució: (a) x(0) = 1 m, v(0)=2 m/s, (b) v = 14 m/s, (c) x = 57 m.


1.3) Si la posició d’un mòbil ve donada, en unitats S.I., per r  (3t , t 3 ) , i si inicialment es troba a
l’origen de coordenades, ¿quina és la seva velocitat (vector) a l’instant t = 4 s?.
Solució: (3 , 3)m/s.


1.4) Si la velocitat d’un mòbil ve donada, en unitats S.I., per v  (4, 2t ) i la seva posició inicial per

r0 = (0, 5), quina és la seva posició (vector) a l’instant t = 3 s?
Solució: (12, 14) m.
1.5) Un mòbil està sotmès a una acceleració que ve donada per l’expressió a(t) = 6t + 2. Trobeu:
a) L’expressió de la velocitat en funció del temps v(t) si la velocitat del mòbil en l’instant
t= 1 és 0 (v(1)=0).
b) La funció x(t) si coneixem la posició del mòbil en l’instant t = 2, amb x(2)= 4.
Solució: (a) v(t )  3t 2  2t  5 (b) x(t )  t 3  t 2  5t  2 .
1.6) Una pilota que porta una velocitat cap avall de 20 m/s rebota amb una velocitat de 19 m/s cap
amunt. Si la pilota ha estat en contacte amb el terra 1 centèsima de segon, trobeu l’acceleració
mitjana en aquest interval.Solució: L’acceleració va dirigida cap amunt i el seu mòdul és 3900 m/s2.
1.7) Des d’un helicòpter que puja a 4 m/s es deixa caure una caixa de 25 kg. Si triga 10 s en arribar
al terra, calculeu:
a) a quina altura es trobava l’helicòpter en el moment inicial?
b) a quina altura es troba la caixa 0.5 s després de deixar-lo caure?
c) amb quina velocitat arriba la caixa a terra?
Solució: (a) 450 m, (b)450,775 m, (c) 94 m/s.
1.8) Un cotxe circula de nit a la velocitat constant de 90 km/h amb un sol llum, i es creua amb una
moto de la policia que circula en sentit contrari a 72 km/h. A partir d’aquell moment, la
policia frena i disminueix la velocitat 3,6 km/h cada segon, fins a parar-se; dona la volta
canviant de sentit en un temps negligible, i es posa a perseguir el cotxe accelerant de forma...