Procesamiento de imágenes

Procesamiento de Imágenes
Modelos Matemáticos I

Objetivos
Comprender cómo puede
aplicarse un modelo
matemático a una situación
práctica muy concreta, en
este caso el procesamiento
de imágenes.
Manipularemos las
características de una
imagen, como por ejemplo:
el tamaño (lo que ocupa en
almacenamiento), la nitidez,
el color, el ruido .

Conceptos básicos:
Imagen: Es unarepresentación
visual.
Imágenes creadas: las
representativas de un objeto
mediante la fotografía, video.
Imagen digital: archivo que contiene
una representación visual de algo.

Las imágenes de acuerdo a la resolución se dividen en:
rasterizadas o vectoriales
La imagen rasterizada también se llama mapa de bits o
bitmap , es una estructura que representa una rejilla
rectangular de pixeles,llamada raster.
Las imagenes rasterizadas se caracterizan por su anchura y
altura dada en píxeles, y por la profundidad de color de cada
píxel dada en bits .
Formatos de imagenes: TIFF, BMP, GIF, JPEG, PNG. BMP
formato más rápido, no comprimido, más espacio. GIF
comprimido.

Tipos de imágenes digitales
Imágenes RGB
Imágenes indexadas
Imágenes en escala de grises
Imágenes binariasCalidad de la imagen
Resolución de una imagen
Tamaño de una imagen

Podemos representar a una
imagen por una función f(x,
y), que nos dé la intensidad
luminosa del píxel con
coordenadas (x, y)
El procesamiento digital de
imágenes es un conjunto de
técnicas que se aplican a
las imágenes digitales con
el objetivo de modificarlas o
facilitar la búsqueda de
información.

PíxelesRelaciones entre píxeles: Un píxel p con coordenadas (x,
y) tiene cuatro vecinos horizontales y verticales
(x-1,y)
(x,y-1)

(x,y)

(x,
y+1)

(x+1,y)

Este conjunto de píxeles se llama vecindad 4 o 4 vecinos
de p ; existen también 4 vecinos diagonales de p .
(x-1,y-1)

(x-1,y+1)

(x,y)

(x+1,y-1)

(x+1,y+1)

Conectividad:
Es un concepto utilizado para establecer
los límites deobjetos en regiones dentro
de una imagen. Para determinar si dos
píxeles están conectados se determina si
son adyacentes en algún sentido y si sus
niveles de gris satisfacen un criterio de
similaridad.
Distancia:
Proporciona una medición de la
separación existente entre dos puntos
dentro de una imagen. Las funciones de
distancia comunmente usadas son:
distancia euclidiana, distanciaManhattan
y distancia tablero de ajedrez.

Ruido en las imágenes
Son pixeles aislados que toman un nivel de gris
'diferente' al de sus vecinos, hay ruido 'gaussiano',
'impulsional' y 'multiplicativo'

Reseña Histórica (valores singulares)
El origen de los valores
singulares se encuentra en
el intento de los geómetras
del siglo XIX
Descubridor de la
descomposición en
valoressingulares de
matrices reales
cuadradas no
singulares con valores
singulares distintos.

Eugene
Beltrami
(18351899)

Q AQ = B = Diag(a , . . . ,a ).
T1

2

1

n

Camille Jordan (1831-1921)

Buscar el máximo y mínimo
de la forma bilineal P = x Ay
condicionados a que
llxll = llyll = 1, dicho máximo es
la raíz cuadrada del mayor valor
propio de la matriz
T

2

2

John JosephSylvester (1814-1897)

Sylvester propone un algoritmo
para reducir una forma cuadrática a forma
diagonal.

Conceptos importantes
Deflacción

consiste en reducir
un problema sobre
matrices al mismo
problema con una
matriz de orden una
unidad inferior.

Matriz ortogonal

Se dice que la matriz es ortogonal si
sus columnas forman una base
ortonormal de vectores en Rn :

Enrealidad hay varias formas de definir una matriz ortogonal
por lo que se introduce la siguente:

Proposición:
Para una matriz U en Rn xn las siguientes condiciones son
equivalentes:
i) U es unitaria.
ii) U es no singular y UT = U -1
(iii) UUT=UTU=In .
(iv) UT es unitaria.
(v) Las filas de U forman un sistema ortonormal de vectores de
Rn

Otro concepto importante es el rango de una...