procesos de combustion

Ejercicio 1.1
Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano
de referencia) en un punto de un sólido:
2⎤
⎡12 4
[T ] = ⎢⎢ 4 − 8 − 1⎥⎥ MPa
⎢⎣ 2 − 1 6 ⎥⎦
Se pide:
- Dibujar, sobre el punto elástico de la figura, y en las caras más alejadas del
origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las
componentes tensionales que, sobre dichas, caras actúan.-Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un
plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia
infinitesimal) del punto considerado.
z
Solución:
6

2
1
1

2

8
4

12

x

4

y

Vector normal al plano:

(

r
1 r r r
u=
i + j +k
3

)

⎡1 ⎤
2 ⎤⎢
⎡12 4
⎡ 18 ⎤
3⎥
1 ⎢ ⎥
⎢
⎥
= ⎢⎢ 4 − 8 − 1⎥⎥ ⎢ 1 ⎥ =
− 5⎥
⎢
3
3⎢⎣ 2 − 1 6 ⎥⎦ ⎢ 1 ⎥
⎢⎣ 7 ⎥⎦
⎢
3 ⎥⎦
⎣
Tensión normal:
⎡σ *x ⎤
⎢ *⎥
⎢σ y ⎥
⎢σ * ⎥
⎣ z⎦

r

r

σ n = σ * ⋅u =

1
(18 − 5 + 7 ) = 20 = 6 ,67 MPa
3
3

Tensión tangencial:
r

2

τ = σ * − σ n2 = 132 ,67 − 44 ,49 = 9 ,39 MPa

Ejercicio 1.2
• Determinar las tensiones principales sabiendo que el
tensor de tensiones viene definido por:

σ=

⎡ 20 40 − 30⎤
⎢ 40 30 25 ⎥ MPa⎢
⎥
⎢⎣− 30 25 − 10 ⎥⎦

Solución:

σ=

⎡σ x τ xy τ zx ⎤
⎥
⎢
⎢τ xy σ y τ zy ⎥
⎢τ zx τ yz σ z ⎥
⎦
⎣

=

⎡ 20 40 − 30⎤
⎢ 40 30 25 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 30 25 − 10 ⎥⎦

MPa

σ − I1σ + I 2σ − I 3 = 0
3

2

I1 = σ x + σ y + σ z = 20 + 30 –10 = 40 MPa
I 2 = σ xσ y + σ xσ z + σ yσ z − τ xy2 − τ xz2 − τ yz2 = -3025 MPa
I 3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ xzτ yz − σ τ − σ τ − σ τ
2
x yz

=89500 MPa

2
y xz

2
z xy

σ − I1 σ + I 2 σ − I 3 = 0
3

Resultado:

2

σ 1 = 65,3MPa
σ 2 = 26,5MPa
σ 3 = −51,8MPa

Ejercicio 1.3
En un problema bidimensional, el punto elástico de la figura
se encuentra sometido al estado tensional que se indica. Se pide:
a)
Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,y
b)
Expresión del tensor de tensionesbidimensional referido a los ejes x’,y’
(e (el eje x’ forma un ángulo de 35º, en sentido antihorario, con el eje x).
La expresión, en x-y, del tensor de tensiones es:
40 − 15 ⎤
⎥
⎣− 15 − 25 ⎦

[T ] = ⎡⎢

25 MPa

40 MPa

y

15 MPa

La expresión de dicho tensor en ejes x’-y’ la
podemos obtener como:

x

[T' ] = [R]T [T ][R]

Siendo:

⎛ cos 35º
[R] = ⎜⎜
⎝ sen35º

− sen35º ⎞
⎟⎟cos 35º ⎠

[T' ] = ⎡⎢

4 ,52
⎣− 35 ,67

− 35 ,67 ⎤
10 ,48 ⎥⎦

Ejercicio 1.4
Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles
valores de las constantes C1, C2 y C3 para que la siguiente distribución
de tensiones puede existir en un sólido en equilibrio:
σ x = −2 ⋅ C1 ⋅ x ⋅ y
σ y = C2 ⋅ z 2 σ z = 0

(

)

τ xy = C1 ⋅ C 2 − y 2 + C 3 ⋅ x ⋅ z

τ xz = −C 3 ⋅y

τ yz = 0

SOLUCIÓN:
Ecuaciones de equilibrio interno (X=Y=Z=0)

∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
+
= 0 = − 2C 1 y − 2 C 1 x ⇒ C 1 = 0
+
∂y
∂z
∂x
∂τ yx ∂σ y ∂τ yz
+
+
= 0 = C3 z ⇒ C3 = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z
+
+
= 0 ( se cumple )
∂x
∂y
∂z

C2 puede tomar cualquier valor, por lo que el estado tensional tendría la forma:

σx =0

σ y = C2 ⋅ z 2 σ z = 0

τ xy = 0

τ xz = 0τ yz = 0

Ejercicio 1.5
El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas,
por la siguiente matriz:
⎡ 50 − 20 0 ⎤
[T ] = ⎢⎢− 20 20 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
0 ⎥⎦

1.- Determinar de forma analítica:
a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensiones
b) Los valores de las tres tensiones principales
c) Los tres vectoresunitarios que definen las tres direcciones principales
d) La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado
a)

I 1 = 50 + 20 = 70
I 2 = 50 ⋅ 20 − 20 = 600
2

b) Una de las tensiones principales (σz) es nula. Las otras dos las calcularemos
resolviendo:
T − σI = 0

50 − σ
− 20

− 20
= 0 ⇒ σ 1 = 60 σ 2 = 10
20 − σ

Por tanto, las tensiones...