Procesos endogenos y exogenos

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INTEGRAL DEFINIDA
Sea y = ƒ(x) una función continua en un intervalo [a, b] (para simplificar la demostración se considera positiva, ƒ(x) > 0, en todo punto del intervalo).
Se divide el intervalo [a, b] en "n" sub intervalos (no necesariamente de la misma amplitud) por los puntos:
Xo = a, x1, x2,..., x n-1, xn = b
Así se dispone de los intervalos cerrados:
[X0, x1],[x1, x2],..., [xn-1, xn]
De amplitudes respectivas:
h1= x1- xo, h2 = x2 - x1,..., hn = xn - xn-1
Ahora bien, como la función es continua en todo el intervalo [a, b], lo es también en cada uno de los subintervalos, por lo que en cada uno de ellos alcanza un mínimo absoluto, m1,m2, .... , mn, y un máximo absoluto, M1, M2,..... , Mn.
Trazando paralelas al eje OY por cada punto yparalelas al eje OX por los mínimos absolutos, mi, se obtienen "n" rectángulos, denominados rectángulos interiores. La suma de sus áreas es:
n
(1) SI = h1 m1+ h2 m2+... + hn mn= ∑ = hk mk
K=1

De forma similar, trazando paralelas al eje OXpor los máximos absolutos, M¡, se obtienen "n" rectángulos, llamados rectángulos exteriores. La suma de sus áreas es:
n
(2) SE = h1 M1+ h2 M2+... + hn Mn= ∑ = hk Mk
K=1

Ahora bien,si se considerasen otros nuevos puntos en el intervalo [a, b] se tendrían otros sub intervalos y otros valores de las sumas de las áreas de los rectángulos interiores y exteriores, S'I y S'E. Se repite el proceso eligiendo los puntos cada vez más próximos entre sí. Así se formarían dos sucesiones de números reales, las de:
- La suma de las áreas de los rectángulos interiores: SI, S'I, S''I,..., y la
- La suma de las áreas de los rectángulos exteriores: SE, S'E, S''E, ...,
Simbolizando por m y M al mínimo y máximo absoluto de ƒ(x) en [a, b], respectivamente, se tiene, en cada tipo de subdivisión:
m ≤ m1 ≤ M1 ≤ M; m ≤ m2 ≤ M2 ≤ M;. . . ; m ≤ mn≤ Mn ≤ M
De donde:
mh1+ mh2+ ... + mhn ≤ m1h1+ m2h2+ ... + mnhn ≤
≤ M1h1+ M2h2+ ... + Mnhn ≤ Mh1+ Mh2+ ... + MhnComo:
h1+ h2+ ... + hn= b - a
mh1+ mh2+ ... + mhn = m (h1+h2+ ... + hn) = m (b - a)
m1h1+ m2h2+ ... + mnhn = SI (1)
M1h1+ M2h2+ ... + Mnhn= SE (2)
Mh1+ Mh2+ ... + Mhn= M (h1+h2+ ... + hn) = M (b - a)
Por consiguiente:
(3) m . (b – a) ≤ SI + SE ≤ M . (b – a).
Que expresan cualquiera que sea la subdivisión:
• La sucesión de la suma de las áreas delos rectángulos interiores, SI, S'I, S''I, ..., está acotada inferiormente.
• La sucesión de la suma de las áreas de los rectángulos exteriores, SE, S'E, S''E, ..., está acotada superiormente.
• Dado que SI ≤ SE, ambas sumas están acotadas.
Ahora bien, restando (2) y (1), miembro a miembro:
SE- SI= M1h1+ M2h2+ ... + Mnhn- m1h1- m2h2- ... - mnhn
SE- SI= (M1- m1) h1+ (M2- m2) h2+ ... +(Mn- mn) hn
Dado que se ha supuesto que ƒ(x) es continua en [a, b], si se consideran los sub intervalos lo suficientemente pequeños, las diferencias Mi - mi pueden ser tan pequeñas como se desean.
Así si se toman:
M1- m1< ε, M2- m2< ε, ..., Mn- mn< ε ⇒
⇒ SE- SI= h1ε + h2ε + ... + hnε = (h1+h2+ ... + hn) ε = (b - a) ε
Luego para un ε lo suficientemente pequeño, SE- SI < (b -a) • ε se puede hacer tan pequeño como se quiera.
Simbolizando por I S al extremo superior de la sucesión SI, S'I, S''I, ... y por E S al extremo inferior de la sucesión SE, S'E, S''E, ... como:
Lím (SE- SI) = 0
se cumple:
(4) SE = SI
De lo que se saca la conclusión que el extremo superior de las sumas de las áreas de los rectángulos interiores y el extremo...
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