PRODUCTO VECTORIAL

8/4/2015

SECCION 3­6

 
3.6 EL PRODUCTO VECTORIAL 

 
Consideremos  el  problema  de  encontrar  un  vector 

  perpendicular  a  dos  vectores  no

nulos  y  no  paralelos 
  y 
.  Como reduce a la solución del siguiente sistema de ecuaciones

podemos  eliminar  z  multiplicando  la  primera  ecuación  por 
sumando ambas para obtener  

,  el  problema  se

  y  la  segunda  por

  y  luego(1) 
En forma semejante, se puede eliminar y para obtener  
(2) 
se  ve  fácilmente  que  para  cualquier  constante  de  k, 

,

  y 

  es  una  solución  para  el  sistema  formado  (1)  y  (2) como  se  puede  ver  hay
infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares. 
Cuando  k  =  1  la  solución  se  define  como  el  producto  vectorial  A  x  B.  Por  lo  anterior,A x  B  es  un
vector perpendicular tanto A como a B.

DEFINICIÓN 3.20(Producto Vectorial) 
Para cualquier par de vectores A y B de R3 el producto vectorial de A por B se define así: http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni3/seccion36.htm

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. 
De  forma  similar  se  define  el  producto  vectorial 
localizado (vector fijo) A x B.SiA o B es cero, entones es claro que A x B = 0.

  de  dos  vectores  localizados  como  el  vector

Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces 

 para algún escalar 

, por tanto 

 Se tiene entonces que si A x B son vectores paralelos, entonces A x B = 0.
Recíprocamente se tiene que, si A x B = 0, entonces los vectores A y B  son  paralelos,  siempre  que
A y B sean no nulos.Usando la notación de determinantes y la definición del producto vectorial tenemos que 
 Definición 4.20

 Definición de determinante

 
por tanto tenemos que 

 
OBSERVACIONES 1. El miembro derecho de esta última igualdad se puede desarrollar como un determinante de
orden 3 por la primera fila (solo por la primera fila).
2.El miembro de la derecha de la última igualdad se llama seudodeterminante, puesto que hablando...